2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 2 2.2 抛物线的简单性质课件 北师大版选

2．2抛物线的简单性质一、预习教材·问题导入太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1条．二、归纳总结·核心必记抛物线的简单性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图像性质焦点准线范围Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)性质对称轴___________顶点_________离心率_______开口方向_______________________通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝____x轴y轴O(0,0)e＝1向右向左向上向下2p三、综合迁移·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线x2＝2py(p0)有一条对称轴为y轴()(2)抛物线y＝－18x2的准线方程是x＝132()答案：(1)√(2)×2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为()A．2B．0C．2或0D．－2或2答案：B3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16C．32D．64答案：B4．若双曲线x23－16y2p2＝1(p0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.答案：4考点一利用抛物线性质求标准方程[典例]已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[解]如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p0)或y2＝－2px(p0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则|y1|＋|y2|＝23，即y1－y2＝23.由对称性知y2＝－y1，∴y1＝3.将y1＝3代入x2＋y2＝4得x＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上．∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝32.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.[类题通法]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值，其主要步骤为：[针对训练]1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p＝6.又因为对称轴是y轴，所以抛物线标准方程为x2＝±12y.答案：C2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝36xB．y2＝－36xC．y2＝±36xD．y2＝±33x解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB为等边三角形，且边长为1.∴A32，12.设抛物线方程为y2＝2px(p0)，∴14＝2p·32，∴p＝312，∴抛物线方程为y2＝36x，同理，当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y2＝－36x.答案：C3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y＝2x，求此抛物线的方程．解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y＝－12x.由y2＝2px，y＝2x得三角形的一顶点为p2，p，由y2＝2px，y＝－12x得三角形的另一个顶点为(8p，－4p)，由已知，得8p－p22＋(－4p－p)2＝(213)2.解得p＝45.故所求抛物线的方程为y2＝85x.考点二与焦点弦有关的问题[典例]已知抛物线y2＝2px(p0)，直线l过抛物线焦点Fp2，0与抛物线交于A，B两点．求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．[解]设直线l与抛物线两交点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点Mx1＋x22，y1＋y22.而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.设圆心M到准线x＝－p2的距离为d，则d＝x1＋x22＋p2＝x1＋x2＋p2，∴d＝|AB|2，即圆心到准线x＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．[类题通法](1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)；③S△ABO＝p22sinθ(θ为直线AB的倾斜角)；④1|AF|＋1|BF|＝2p；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.[针对训练]1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为()A．10B．8C．6D．4解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.答案：B2．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3解析：如图，直线MF的方程为x2＋y1＝1，即x＋2y－2＝0.设直线MF的倾斜角为α，则tanα＝－12.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sinα＝15.答案：C