2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1 椭圆 1.2 椭圆的简单性质课件 北师大

一、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程(ab0)(ab0)范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤bx2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点轴长长轴长＝，短轴长＝焦点焦距对称性对称轴，对称中心离心率e＝二、当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越，则椭圆越接近于圆．(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2b(±c,0)(0，±c)2c坐标轴原点接近于1接近于0ca[疑难提示]椭圆方程中a，b，c的意义结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c恰好可以构成以a为斜边的直角三角形，如图所示．[想一想]1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?提示：可以．由于e＝ca，又c＝a2－b2，故e＝ca＝a2－b2a＝1－b2a2.[练一练]2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.2D．2解析：由b＝c得c2＝b2＝a2－c2，∴a2＝2c2即c2a2＝12，∴e＝ca＝22.答案：B3．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________，顶点坐标为______，离心率为________．答案：186(0，±62)(±3,0)和(0，±9)223探究一由椭圆方程得椭圆的几何性质[典例1]求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率．(1)4x225＋y216＝1；(2)m2x2＋4m2y2＝1(m0)．[解析](1)椭圆的方程4x225＋y216＝1可转化为x2254＋y216＝1.∵16254，∴焦点在y轴上，并且长半轴长a＝4，短半轴长b＝52，半焦距c＝a2－b2＝16－254＝392，∴长轴长2a＝2×4＝8，短轴长2b＝2×52＝5，焦点坐标为(0，－392)，(0，392)，顶点坐标为(－52，0)，(52，0)，(0，－4)，(0,4)，e＝ca＝398.(2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m0)，可化为x21m2＋y214m2＝1.∵m24m2，∴1m214m2，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝1m，短半轴长b＝12m，半焦距长c＝32m.∴椭圆的长轴长2a＝2m，短轴长2b＝1m，焦点坐标为(－32m，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m，0)，(－1m，0)，(0，－12m)，(0，12m)，e＝ca＝32.已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是()A．(±1,0)B．(0，±1)C．(±7，0)D．(0，±7)解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝a2－b2＝42－32＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.答案：D2．已知椭圆mx2＋(m＋9)y2＝25m(m0)的离心率e＝35，求实数m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解析：椭圆的方程可化为x225＋m＋9y225m＝1.∵25－25mm＋9＝225m＋90，∴2525mm＋9，即a2＝25，b2＝25mm＋9，c2＝a2－b2＝225m＋9，由e＝35，得22525m＋9＝925，∴m＝16.∴椭圆的标准方程为x225＋y216＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.∴椭圆的长轴长为10，短轴长为8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．探究二利用几何性质求标准方程[典例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝12；(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)；(3)过点(3,0)，离心率e＝63.[解析](1)由a＝2，e＝12，可得a2＝4，且c2＝12，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为y24＋x23＝1.(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.因此所求的标准方程为x234＋y225＝1.(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝63，所以a2－b2a＝63，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为()A.x23＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x29＋y24＝1D.x29＋y25＝1解析：由椭圆的定义可知2a＋2a＝12，即a＝3.由e＝a2－b2a＝23，解得b2＝5，所以椭圆C的方程为x29＋y25＝1.答案：D4．求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为45；(2)焦点与较接近的长轴端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；(3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．解析：(1)由题意，因为2c＝8，所以c＝4；又因为ca＝45，所以a＝5，所以b2＝9，焦点在x轴上时，椭圆标准方程为x225＋y29＝1；焦点在y轴上时，椭圆标准方程为y225＋x29＝1.(2)由题意，a－c＝10－5，b＝c，a2＝b2＋c2，所以解得a2＝10，b2＝5，焦点在x轴上时，椭圆标准方程为x210＋y25＝1；焦点在y轴上时，椭圆标准方程为y210＋x25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知a＝2B.①又过点(2，－6)，因此有22a2＋－62b2＝1或－62a2＋22b2＝1.②由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求椭圆的标准方程为x2148＋y237＝1或y252＋x213＝1.探究三椭圆的离心率椭圆的离心率——直接法求椭圆的离心率—方程思想求椭圆的离心率—利用椭圆的定义求离心率—求椭圆的离心率的取值范围5．椭圆x24＋y29＝1的离心率是()A.53B.52C.133D.132解析：由方程知a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝5，∴e＝ca＝53.答案：A6．(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.55B.22C.33D.3解析：设椭圆的焦距为2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，∴e＝55.故选A.答案：A(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．答案：27－57．F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，|F1Q|＝2m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a，即m＋m＋2m＝4a，(2＋2)m＝4a.∴m＝(4－22)a.又|PF2|＝2a－m＝(22－2)a.在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2.∴c2a2＝9－62＝3(2－1)2，∴e＝ca＝3(2－1)＝6－3.8.如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．解析：由余弦定理得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，即|PF1|·|PF2|＝4b23，∵|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝a2，∴3a2≥4(a2－c2)，解得ca≥12，又∵0e1，∴所求椭圆离心率e的取值范围为[12，1)．因忽略讨论椭圆焦点位置致误[典例]若椭圆x2k＋4＋y24＝1的离心率为12，则k＝________.[解析]当焦点在x轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，所以c2＝k，因为e＝12，所以c2a2＝14，即kk＋4＝14，所以k＝43.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，所以c2＝－k.由e＝12，所以c2a2＝14，所以－k4＝14.所以k＝－1.综上可知，k＝43或k＝－1.[答案]43或－1[错因与防范]本例易主观认为焦点在x轴上，漏掉另一个解－1，从而导致答案不全面．对椭圆方程x2m＋y2n＝1，当分母含参数时，一要注意隐含条件分母m0，n0，m≠n，二要注意讨论焦点位置(即分母大小)．