2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法课件 北师大版选修1-2

[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发，利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q条件定义公理定理运算法则演绎推理三、分析法的定义从____________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件求证的结论充分条件条件定义公理定理[双基自测]1．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A．bB．－bC.1bD．－1bB解析：f(－a)＝lg1＋a1－a＝lg(1－a1＋a)－1＝－lg1－a1＋a＝－f(a)＝－b.2．已知a、b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的关系是()A．xyB．xyC．x2yD．不确定B解析：∵x0，y0，∴要比较x、y的大小，只需比较x2、y2的大小，即比较a＋b＋2ab2与a＋b的大小．∵a、b为不相等的正数，∴2aba＋b.∴a＋b＋2ab2a＋b，即x2y2.∴xy.3．验证2－36－7，只需要证()A．(2－3)2(6－7)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2＋7)2(3＋6)2D．(2－3－6)2(－7)2C解析：将不等式等价转化为2＋73＋6.由于两边都为正数，所以可平方化简．4．在△ABC中，tanAtanB1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定A解析：因为tanAtanB1，所以tanA0，tanB0.所以A，B为锐角．又因为tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB0，所以A＋Bπ2，所以Cπ2.所以△ABC是锐角三角形．5．若aa＋bbab＋ba，则实数a，b应满足的条件是____________________________．a≥0，b≥0，且a≠b.解析：由题意得aa＋bb－(ab＋ba)0，变形可得(a＋b)·(a－b)20，可知不等式成立的条件为a≠b.探究一综合法的应用[例1]已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.[解析]解法一∵a，b为正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.解法二∵a，b为正数，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，∴(a＋b)1a＋1b≥4，又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.解法三∵a，b为正数，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键．1．已知函数f(x)＝x2，求证：(1)对任意的x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，有|f(x2)－f(x1)|2|x2－x1|；(2)对任意的x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，有|f(x2)－f(x1)|≤1.证明：(1)当x∈[0,1]时，|f(x2)－f(x1)|＝|x22－x21|＝|(x2－x1)(x2＋x1)|.∵x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，∴0x1＋x22.∴|f(x2)－f(x1)|2|x2－x1|.(2)∵x1，x2∈[0,1]，∴0≤x21≤1,0≤x22≤1.∴－1≤x22－x21≤1.∴|x22－x21|≤1.∴|f(x2)－f(x1)|≤1.探究二分析法的应用[例2]是否存在常数C，使得不等式x2x＋y＋yx＋2y≤C≤xx＋2y＋y2x＋y对任意正数x，y恒成立？试证明你的结论．[解析]存在，证明如下：令x＝y＝1，得23≤C≤23，∴C＝23.先证明x2x＋y＋yx＋2y≤23，因为x0，y0，要证x2x＋y＋yx＋2y≤23，只需证3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)，即x2＋y2≥2xy，这显然成立，∴x2x＋y＋yx＋2y≤23.再证xx＋2y＋y2x＋y≥23，只需证3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)，即2xy≤x2＋y2，这显然成立．∴xx＋2y＋y2x＋y≥23.∴存在常数C＝23，使对任何正数x，y都有x2x＋y＋yx＋2y≤23≤xx＋2y＋y2x＋y成立．分析法的证明过程及书写形式：(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．2．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b.只需证aa＋bb≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)．即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立．所以ab＋ba≥a＋b.探究三综合法与分析法的综合应用[例3]若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.[解析]要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc，只需证lg(a＋b2·b＋c2·c＋a2)lg(a·b·c)，即证a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，c＋a2≥ac0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a＋b2·b＋c2·c＋a2abc成立．所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc成立．对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻找结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．3.如图，已知AB，CD相交于点O，△ACO≌△BDO，AE＝BF.求证：CE＝DF.证明：要证明CE＝DF，只需证明△ECO≌△FDO.∵△ACO≌△BDO，∴CO＝DO，AO＝BO.①又∵AE＝BF，∴EO＝FO.②∵∠EOC与∠FOD是对顶角，∴∠EOC＝∠FOD.③由①②③知△ECO≌△FDO.∴CE＝DF命题得证．利用综合法、分析法证明函数的奇偶性[典例](本题满分12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图像与f(x)的图像关于y轴对称．求证：fx＋12为偶函数．[解析]解法一要证fx＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，2分即只需证－b2a－12＝0，只需证a＝－b，4分由已知，抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－b2a－1与f(x)的对称轴x＝－b2a关于y轴对称，8分所以－b2a－1＝－－b2a，所以a＝－b，10分所以fx＋12为偶函数，12分解法二要证fx＋12为偶函数，只需证：fx＋12＝f－x＋12.2分令x＋12＝t，则x＝t－12所以只需f(t)＝f(－t＋1)，6分即证：f(x)＝f(－x＋1)．因为函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，所以函数y＝f(x)上任一点(x，f(x))，关于y轴的对称点(－x，f(x))在y＝f(x＋1)上，即f(－x＋1)＝f(x)，10分所以fx＋12为偶函数.12分[规范与警示]利用分析法将问题转化为证明a＝－b.此处易找错对称轴．易错点．利用综合法将函数图像的对称问题转化为两条轴关于y轴对称．关键点．此处易误认为f－x－12＝fx＋12成立而导致错误．失分点．