2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例 1 回归分析课件 北师大版选修2-3

[自主梳理]一、回归分析回归分析是对有__________的两个变量进行统计分析的常用方法，对两个具有_______关系的变量进行回归分析，我们采用求线性回归方程的方法．相关关系相关二、线性回归方程y＝a＋bx中几个相关量的求法对于几对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn).x＝______________，y＝______________b＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2a＝y－bxx1＋x2＋…＋xnny1＋y2＋…＋ynn三、相关系数为了刻画变量间的线性相关关系，我们可以通过计算两个随机变量的线性相关系数r，来判断它们之间线性相关程度的大小.计算r＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2i＝1nyi－y2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny2范围r∈______性质线性相关程度(1)|r|越大，线性相关程度________；(2)|r|越接近于0，线性相关程度________；(3)当r0时，两个变量______相关；(4)当r0时，两个变量______相关；(5)当r＝0时，两个变量线性_______[－1,1]越高越低正负不相关[双基自测]1．下面两个变量间的关系不是函数关系的是()A．正方体的棱长与体积B．角的弧度数与它的正弦值C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D．日照时间与水稻亩产量解析：A、B、C均是确定性的函数关系，D不是．D2．随机抽样中测得四个样本点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为()A．y＝x＋1B．y＝x＋2C．y＝2x＋1D．y＝x－1解析：x＝1＋2＋3＋44＝52，y＝2＋3＋4＋54＝72，∴回归直线过(52，72)，代入验证即可．A探究一求线性回归方程学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)作出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．[解析](1)散点图如图．(2)由图看出变量x、y具有明显的线性相关关系，因此可用线性回归方程刻画它们的关系．x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.i＝15xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.i＝15x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以b＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝25054－5×73.2×67.827174－5×73.22≈0.625.a＝y－bx≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是y＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.散点图大部呈线性，求出的回归方程才有实际意义．1．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：汞含量x246810消光系数y64138205285360(1)作出散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程．解析：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，y与x呈线性相关关系，设线性回归方程为：y＝bx＋a.经计算，得x＝6，y＝210.4，∑5i＝1x2i＝220，∑5i＝1xiyi＝7790.∴b＝7790－5×6×210.4220－5×62＝36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴线性回归方程为：y＝36.95x－11.3.探究二相关系数[例2]下面的数据是从年龄在40岁到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间x(小时)．看电视的平均时间x4.44.62.75.80.24.6心脏功能水平y525369578965(1)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；(2)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．[解析]n＝6，x＝16(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.7167，y＝16(52＋53＋…＋65)≈64.1667，∑6i＝1x2i－6x2≈(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.71672≈19.7668，∑6i＝1y2i－6y2≈(522＋532＋…＋652)－6×64.16672≈964.8077，∑6i＝1xiyi－6xy≈(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.(1)心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数：r≈－124.630219.7668×964.8077≈－0.9025.(2)b≈－124.630219.7668≈－6.3050，a＝y－bx≈87.6005，心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程为y＝87.6005－6.3050x.由(1)知y与x之间有较强的线性关系，这个方程是有意义的．(3)将x＝3代入线性回归方程y＝87.6005－6.3050x，可得y≈68.7，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.7.求解两个变量的相关系数及它们的线性回归方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算．如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到∑ni＝1xi，∑ni＝1yi，∑ni＝1x2i，∑ni＝1y2i，∑ni＝1xiyi这些量，也就无需制表这一步，直接算出结果就行了．另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理．2．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系？机动车辆数x/千台95110112120129135150180交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213.0解析：将数据列成下表：ixiyix2iy2ixiyi1956.2902538.44589.021107.51210056.25825.031127.71254459.29862.441208.51440072.251020.051298.71664175.691122.361359.81822596.041323.0715010.222500104.041530.0818013.032400169.002340.0∑103171.6137835671.009611.7由此可得x＝128.875，y＝8.95.进而求得r＝9611.7－8×128.875×8.95137835－8×128.8752×671.00－8×8.952≈0.9927.因为r0.75，所以可以得出，交通事故数y和机动车辆数x有较强的线性相关关系．探究三非线性回归分析[例3]在摄影技术彩色显影中，形成染料的光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝Aebx(b0)表示．现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.47yi0.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29试求y关于x的回归方程．[解析]由题意知，对于公式y＝Aebx(b0)两边取自然对数，得lny＝lnA＋bx.与线性回归方程相对照可以看出，只要取v＝1x，u＝lny，a＝lnA，就有u＝a＋bv，这是u对v的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a.题目中所给的数据由变量置换v＝1x，u＝lny，变为如下表所示的数据：vi20.00016.6674.0003.22614.28610.0002.6322.3267.1435.0002.128ui－2.303－1.96600.113－1.470－0.9940.1740.223－0.528－0.2360.255可以求得r＝0.998，由于|r|＝0.9980.75，可知u与v具有很强的线性相关关系．再求出b＝－0.15，a＝0.55，∴u＝0.55－0.15v.把u和v回代可得lny＝0.55－0.15x.即y＝e0.150.55x－＝e0.55·e0.15x－≈1.73e0.15x－.所以回归方程为y＝1.73e0.15x－.函数模型为指数型，可两边取对数转化为线性函数关系，再求出回归直线方程．3．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表：温度x/℃21232527293235产卵个数y/个711212466115325求y与x之间的回归方程．解析：画出散点图．两变量符合指数函数y＝aebx.令u＝lny，c＝lna，则u＝c＋bx.x21232527293235u1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784∑7i＝1xi＝192，∑7i＝1ui≈25.286，∑7i＝1x2i＝5414，∑7i＝1xiui≈733.741，x≈27.4286，u≈3.6123.b＝∑7i＝1xiui－7xu∑7i＝1x2i－7x2≈733.741－7×27.4286×3.61235414－7×27.42862≈0.2720，c＝u－bx≈－3.848，∴u＝－3.848＋0.2720x，y＝e－3.848·e0.2720x.＝e0.2720x－3.848.求线性回归方程的方法技巧【典例】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20062008201020122014需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y＝bx＋a；(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．[解析](1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下：年份－2010－4－2024需求－257－21－1101929对处理的数据，容易算得x＝0，y＝3.2.b＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2－42＋－22＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a＝y－bx＝3.2，由上述计算结果，知所求线性回归方程为y－257＝6.5(x－2010)＋3.2，即y＝6.5(x－2010)＋260.2.(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2016年的粮食需求量大约为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．[感悟提高]求线性回归方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更烦琐(如年份、需求量，不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的题目时，要考虑有没有更简便的方法解决．对于x与y有如下观测数据：x1825303941424952y356788910(1)作出散点图；(2)对x与y作回归分析；(3)求出y对x的线性回归方程；(4)根据线性回归方程，预测y＝20时x的值．解析：(1)作出散点图，如图．(2)作相关性检验．x＝18×(18＋25＋30＋39＋41＋42＋49＋52)＝2968＝37，y＝18×(3＋5＋6＋7＋8＋8＋9＋10)＝7，i＝18x2i＝182＋252＋302＋392＋412＋422＋492＋522＝11920，i＝18y2i＝32＋52＋62＋72＋82＋82＋92＋102＝428，i＝18xiyi＝18×3＋25×5＋30×6＋39×7＋41×8＋42×8＋49×9＋52×10＝2257，i＝18xiyi－8xy＝2257－8×37×7＝185，i＝18x2i－8x2＝11920－8×372＝968，i＝18y2i－8y2＝428－8×72＝36，所以r＝i＝18xiyi－8xyi＝18x2i－8