2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末小结与测评课件 新人教A版选修2-

考点一复数的概念复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．[典例1](1)复数1－2＋i＋11－2i的虚部是()A．15iB．15C．－15iD．－15(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．2C．1或2D．－1解析：(1)1－2＋i＋11－2i＝－2－i－2＋i－2－i＋1＋2i1－2i1＋2i＝－2－i5＋1＋2i5＝－15＋15i，故虚部为15.(2)由纯虚数的定义，可得a2－3a＋2＝0，a－1≠0，解得a＝2.答案：(1)B(2)B[对点训练]1．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．解析：设z1z2＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以a＝4b，＝3b，所以a＝83.答案：832．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．解：(1)由lgm2－2m－2＝0，m2＋3m＋2≠0，得m＝3.∴当m＝3时，z是纯虚数．(2)由m2－2m－20，m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2.∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数．(3)由lgm2－2m－20，m2＋3m＋20，得－1m1－3或1＋3m3.∴当－1m1－3或1＋3m3时，复数z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．考点二复数的四则运算1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i幂的周期性变化，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．另外计算要注意下面结论的应用：(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(3)(1±i)2＝±2i，(4)1i＝－i，(5)1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，(6)a＋bi＝i(b－ai)．[典例2]复数i2＋i3＋i41＋i等于()A．12＋12iB．12－12iC．－12＋12iD．－12－12i解析：i2＋i3＋i41＋i＝－i1＋i＝－i1－i2＝－12－12i.答案：D[典例3]已知复数z1＝15－5i2＋i2，z2＝a－3i(a∈R)．(1)若a＝2，求z1·z2；(2)若z＝z1z2是纯虚数，求a的值．解：由于z1＝15－5i2＋i2＝15－5i3＋4i＝15－5i3－4i3＋4i3－4i＝25－75i25＝1－3i.(1)当a＝2时，z2＝2－3i，∴z1·z2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i－6i＋9＝11－3i.(2)若z＝z1z2＝1－3ia－3i＝1－3ia＋3ia－3ia＋3i＝a＋9＋3－3aia2＋9为纯虚数，则应满足a＋9a2＋9＝0，3－3aa2＋9≠0，解得a＝－9.即a的值为－9.[对点训练]3．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i解析：z＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，故选A.答案：A4．设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．解析：∵a＋bi＝11－7i1－2i，∴a＋bi＝11－7i1＋2i1－2i1＋2i＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，故a＋b＝8.答案：85．计算：(1)(1－i)－12＋32i(1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)－12＋32i(1＋i)＝－12＋32i＋12i－32i2(1＋i)＝3－12＋3＋12i(1＋i)＝3－12＋3＋12i＋3－12i＋3＋12i2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)－12＋32i＝(1－i2)－12＋32i＝2－12＋32i＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i＝2＋3i3＋2i3－2i3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i＋3i－65＝5i5＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.考点三复数的几何意义复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点Z(a，b)一一对应，和向量OZ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．[典例4]若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H解析：由题图可得z＝3＋i，所以z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．答案：D[典例5]已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，z2－i＝x＋yi2－i＝15(x＋yi)(2＋i)＝15(2x－y)＋15(2y＋x)i.由题意知y＋2＝0，152y＋x＝0，∴x＝4，y＝－2，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由已知得12＋4a－a20，8a－20，∴2a6.∴实数a的取值范围是(2,6)．[对点训练]6．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)解析：由iz＝2＋4i，可得z＝2＋4ii＝2＋4i·－ii·－i＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．答案：C7．已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，A(1，2)，B(－2,6)，C(x，y)．∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即21＝y－6x＋2，x2＋y2＝－32＋42.解得x＝－5，y＝0或x＝－3，y＝4.∵|OA|≠|BC|，∴x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.考点四复数的模及其几何意义复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|OZ―→|＝a2＋b2，即Z(a，b)到原点的距离．[典例6]已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋yi＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.∴|z－3－2i|＝x－32＋y－22＝x－32＋1－x＋22＝－10x＋6，由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.∴4≤－10x＋6≤6.∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4.法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r.又|AC|＝3＋22＋2－22＝5，所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.[对点训练]8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．答案：B9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋y－12＝4－y2＋y－12＝5－2y.∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.故当y＝－2时，5－2y取最大值9，从而5－2y取最大值3，此时x＝0，即|z－i|取最大值3时，z＝－2i.法二：方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.