2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳整合课件 新人教A版选修2-2

章末归纳整合【知识构建】专题一复数运算中的简化策略复数一章，以其概念多、涉及面广、题型多样、运算量大而成为学生学习的难点，因此学习中如何选取适当的方法，降低解题难度，减少解题步骤及计算量，既是学好本章的关键，也是提高数学能力的重要途径．【思想方法专题】【例1】已知z1＝2＋i，z2＝z1＋i2i＋1－z1，求z2.分析：依题意，将z1代入z2后合并同类项，之后令分数上下同时乘以分母的共轭复数，化简即可求解．解：z2＝2＋2i2i＋1－2＋i＝21＋i－1＋i＝－2i.方法点评：本题主要考查了复数除法的运算法则，同时应该注意复数的加减法法则与乘除法法则的混合运算．1．若a为实数，2＋ai1＋2i＝－2i，则a等于__________．【答案】－2【解析】2＋ai1＋2i＝－2i可得2＋ai＝－2i(1＋2i)＝2－2i，∴a＝－2.【例2】求证：方程(z＋1)2n＋(z－1)2n＝0(n∈N*)只有纯虚数根．分析：可以通过将方程变形，然后再利用复数的几何意义来证明．证明：显然z≠1，故得z＋1z－12n＝－1⇒z＋1z－12n＝1⇒|z＋1|＝|z－1|，此方程表示的点为落在虚轴上的点，然而z＝0显然不适合原方程．∴原方程只有纯虚数根．方法点评：对于某些含有|z|，z和|z|的复数方程，可通过整体取模或变形整体取模，化为实数方程进行求解．这运用了整体化归的数学思想，体现了数学知识的统一美．2．已知z1＝m2＋1m＋1i，z2＝(2m－3)＋12i，m∈R，i为虚数单位．若z1＋z2是纯虚数，求z1·z2的值．【解析】z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋1m＋1＋12i，∵z1＋z2是纯虚数，∴m2＋2m－3＝0，1m＋1＋12≠0，解得m＝1.∴z1＝1＋12i，z2＝－1＋12i，则z2＝－1－12i.∴z1·z2＝1＋12i·－1－12i＝－1＋12i2＝－34＋i＝－34－i.【例3】已知z∈C且|z|＝1，解方程z5＋z＝1.分析：由题意可得z5＝1－z，两边取模后，式子左右两边的复数z分别代表两个圆，要使等式成立即要求两圆交点．解：由题设得z5＝1－z，所以|z|5＝|1－z|.因为|z|＝1，所以|1－z|＝1.它表示复平面内复数z对应的点Z为圆x2＋y2＝1与(x－1)2＋y2＝1的交点(如图所示)．交点坐标为12，±32，故z＝12±32i.方法点评：复数的几何意义中涉及平面几何的有关问题，在解决这类题目时，数形结合可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．3．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为3，求yx的最大值．【解析】∵|(x－2)＋yi|＝3，∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上.yx表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率，又过原点的切线倾斜角为60°.故切线的斜率为3，故yx的最大值为3.专题二复数系中的一元二次方程问题一元二次方程的系数为实数时，可以利用根的判别式来判别方程的根的情况，而对于复系数的一元二次方程，则需要注意它的系数是实数还是虚数，就不能单纯地考虑根的判别式了．但根与系数的关系对复系数方程仍然适用，对于复数系中的一元二次方程的根及根与系数的有关问题，作如下探讨．【例4】一元二次方程x2－3x＋m＝0(m∈R)有一个根为x＝a＋3i(a∈R)，试求a和m的值．分析：实系数一元二次方程若有复数根，其两根为共轭复数．之后利用韦达定理来解答．解：该方程为实系数一元二次方程且它有一个虚根为x1＝a＋3i，那么它必有共轭虚根为x2＝a－3i.由根与系数的关系，知x1＋x2＝a＋3i＋a－3i＝3，∴a＝32.又x1·x2＝m，∴m＝214.故a＝32，m＝214.方法点评：本题已知一元二次方程的两根为复数，求其系数，考查实系数一元二次方程的两复数根为共轭复数．4．如果1＋2i是实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的根，求a＋b的值．【解析】∵1＋2i是实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的根，所以1－2i是方程的另外一个根，由韦达定理可得(1＋2i)＋(1－2i)＝－a且(1＋2i)(1－2i)＝b，∴a＝－2，b＝1－4i2＝5，∴a＋b＝3.【例5】关于t的方程(1＋i)t2－2(a＋i)t＋5－3i＝0有实根，求实数a的值及方程的根．分析：设实根然后代入方程通过复数相等的充要条件来解答．解：由题意知方程有实根，不妨设该实根为x，则由复数相等的充要条件，得x2－2ax＋5＝0，①x2－2x－3＝0.②由②得x＝3或x＝－1.当x＝3时，代入①，得a＝73；当x＝－1时，代入①，得a＝－3.当a＝73时，方程一个根为3.设另一个根为x1，由根与系数的关系，得3x1＝5－3i1＋i.∴x1＝13－43i.当a＝－3时，一个根为－1，同理，得另一个根为－1＋4i.综上，当a＝73时，方程的根为x＝3或x＝13－43i；当a＝－3时，方程的根为x＝－1或x＝－1＋4i.方法点评：对于复系数的一元二次方程，直接将根代入方程，再利用复数相等的充要条件求解．5．已知关于x的方程x2＋(4＋i)x＋3＋pi＝0(p∈R)有实数根，求p的值，并解这个方程．【解析】设方程的实数根为a，则满足a2＋(4＋i)a＋3＋pi＝0，即a2＋4a＋3＋(a＋p)i＝0，则a2＋4a＋3＝0，a＋p＝0，即a＝－1或－3，p＝－a.当a＝－1时，p＝1；当a＝－3时，p＝3.当a＝－1，p＝1时，由韦达定理得－1＋x＝－(4＋i)，即x＝－3－i，即另外一个根为－3－i，当a＝－3，p＝3时，由韦达定理得－3＋x＝－(4＋i)，即x＝－1－i，即另外一个根为－1－i.从近几年高考信息统计可以看出，复数这一模板呈现以下特点：考查复数是题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属于容易题；重点考查复数的四则运算及其几何意义，会在几何意义上与几何知识结合处命题．【解读高考】1.(2019年新课标Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】依题意，z＝－3－2i，在复平面内对应的点为(－3，－2)，在第三象限.2．(2018年浙江)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i【答案】B【解析】21－i＝21＋i1－i1＋i＝1＋i，其共轭复数是1－i.3.(2019年新课标Ⅲ)z(1＋i)＝2i,则z＝()A.－1－iB.－1＋i]C.1－iD.1＋i【答案】D【解析】由z(1＋i)＝2i,得z＝2i1＋i＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i.4．(2018年天津)i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.【答案】4－i【解析】6＋7i1＋2i＝6＋7i1－2i1＋2i1－2i＝20－5i5＝4－i.5．(2019年浙江)已知复数z＝11＋i，其中i是虚数单位，则|z|＝________．【答案】22【解析】z＝11＋i＝1－i(1＋i)(1－i)＝12－12i，所以|z|＝122＋122＝22．