2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课

3．2.2复数代数形式的乘除运算一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P109～P111，回答下列问题．(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？提示：是．(2)观察下列三组复数：①z1＝2＋i，z2＝2－i；②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；③z1＝4i，z2＝－4i.每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．二、归纳总结·核心必记1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i交换律z1·z2＝结合律(z1·z2)·z3＝乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z33.共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝i(c＋di≠0)．相等互为相反数ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2三、综合迁移·深化思维(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？提示：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可．(2)复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？z1·z2为何值？提示：z1与z2的实部相同，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2.(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？提示：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，则z＋z＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－z＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？提示：|z1|＝|z2|.(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共轭复数．探究点一复数的乘除运算[典例精析]计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)－12＋32i32＋12i(1＋i)；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4)3＋2i2－3i－3－2i2＋3i.[解](1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2)－12＋32i32＋12i(1＋i)＝－34－34＋34－14i(1＋i)＝－32＋12i(1＋i)＝－32－12＋12－32i＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i1＋2i＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i＝－2＋6＋3＋4i12＋22＝45＋75i.(4)法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2－3i2＋3i＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i－－i2＋3i2＋3i＝i＋i＝2i.[类题通法]复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[针对训练]1．计算：(1)(－1＋3i)(3－4i)；(2)2－i3－4i1＋i2＋(1－i)2.解：(1)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.(2)2－i3－4i1＋i2＋(1－i)2＝2－i3－4i·2i－2i＝2－i8＋6i－2i＝2－i8－6i8＋6i8－6i－2i＝10－20i100－2i＝110－15i－2i＝110－115i.探究点二共轭复数[思考探究]若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z，z·z各为何值？名师指津：z＝a－bi，z·z＝a2＋b2.[典例精析](1)若z＝1＋2ii，则复数z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D(3)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝()A．－2iB．－iC．iD．2i[解析](1)z＝1＋2ii＝1＋2i－i－i2＝2－i，则复数z＝2＋i.(2)因为x＋yi的共轭复数为x－yi，故选B.(3)依题意得zz－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.[答案](1)D(2)B(3)B[类题通法]共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求z.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．[针对训练]2．已知复数z的共轭复数是z－，且z－z－＝－4i，z·z－＝13，试求zz－.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得x＋yi－x－yi＝－4i，x＋yix－yi＝13.即2yi＝－4i，x2＋y2＝13，解得x＝3，y＝－2或x＝－3，y＝－2.因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是zz－＝3－2i3＋2i＝3－2i23＋2i3－2i＝5－12i13＝513－1213i，或zz－＝－3－2i－3＋2i＝－3－2i2－3＋2i－3－2i＝5＋12i13＝513＋1213i.探究点三复数范围内的方程根问题[典例精析]已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．[思路点拨](1)将1＋i代入方程，然后利用复数相等的充要条件求b，c的值；(2)将1－i代入方程x2＋bx＋c＝0，若方程成立，则1－i是方程的根，否则就不是．[解](1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴b＋c＝0，2＋b＝0，得b＝－2，c＝2.∴b＝－2，c＝2.(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．[类题通法]解决复数方程问题的方法与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．[针对训练]3．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，由复数相等的充要条件得x20＋kx0＋2＝0，2x0＋k＝0，解得x0＝2，k＝－22，或x0＝－2，k＝22.∴方程的实根为x＝2或x＝－2，相应的k值为k＝－22或k＝22.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是复数的乘除运算及共轭复数问题，难点是复数的除法运算和解复数方程问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数的乘除运算，见探究点一；(2)共轭复数的有关问题，见探究点二；(3)复数范围内的方程根问题，见探究点三．