2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课

3．2.2复数代数形式的乘除运算第三章数系的扩充与复数的引入1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3.理解共轭复数的概念．第三章数系的扩充与复数的引入1．复数乘法的运算法则和运算律(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____________________．(2)复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝_______结合律(z1·z2)·z3＝______________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝___________(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z32．共轭复数(1)如果两个复数满足实部______，虚部______________时，称这两个复数互为共轭复数．z的共轭复数用z－表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi.(2)复数与共轭复数的乘法性质zz－＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.3．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.相等互为相反数1．对复数乘法的两点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．2．对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．3．共轭复数的注意点(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数．(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．()(2)两个共轭复数的和与积是实数．()(3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称．()(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(2017·高考全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝()A．1－iB．1＋3iC．3＋iD．3＋3i解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i，选B.1＋3i1－i＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i答案：B若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________．答案：－11探究点1复数代数形式的乘法运算(1)复数(3i－1)i的虚部是()A．1B．－3C．3D．－1(2)若a为实数且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2(3)－12＋32i32＋12i(1＋i)＝________．【解析】(1)因为(3i－1)i＝3i2－i＝－3－i，所以复数(3i－1)i的虚部为－1，故选D.(2)由(2＋ai)(a－2i)＝－4i，得4a＋a2i＝0，即a＝0，故选B.(3)－12＋32i32＋12i(1＋i)＝－34－34＋34－14i(1＋i)＝－32＋12i(1＋i)＝－32－12＋12－32i＝－1＋32＋1－32i.【答案】(1)D(2)B(3)－1＋32＋1－32i复数乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．1.(2017·高考全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：选C.i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B；(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数．故选C.2．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________．解析：因为复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，即a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2＝3.答案：33．计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101＝i（1－i100）1－i－100i101＝0－100i＝－100i.所以S＝－100i1－i＝－100i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－100（－1＋i）2＝50－50i.所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.探究点2共轭复数(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(2)(2018·兰州高二检测)把复数z的共轭复数记作z－，已知(1＋2i)z－＝4＋3i，求z.【解】(1)选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，a＋2b＝4，2a－b＝3.得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i.若把本例(2)条件改为(1＋2i)z＝4＋3i，求z－z.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(1＋2i)(x＋yi)＝4＋3i，得x－2y＝4，2x＋y＝3，解得x＝2，y＝－1，所以z＝2－i.所以z－z＝2＋i2－i＝35＋45i.处理与共轭复数有关问题的思路当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．1.记复数z的共轭复数为z－，若z－·(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－＝x－yi，又z－·(1－i)＝2i，所以(x－yi)·(1－i)＝2i，即(x－y)－(x＋y＋2)i＝0，所以x－y＝0，x＋y＋2＝0，解之得x＝y＝－1，即z＝－1－i，故复数z在复平面内所对应的点位于第三象限．2．已知z∈C，z－为z的共轭复数，若z·z－－3iz－＝1＋3i，求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a2＋b2－3b＝1，－3a＝3，解得a＝－1，b＝0或a＝－1，b＝3.所以z＝－1或z＝－1＋3i.探究点3复数的除法(1)在复平面内，复数－2＋3i3－4i(i是虚数单位)所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)计算：①3＋2i2－3i－3－2i2＋3i；②（1＋i）71－i＋（1－i）71＋i－（3－4i）（2＋2i）34＋3i.【解】(1)选B.因为－2＋3i3－4i＝（－2＋3i）（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝－18＋i25＝－1825＋125i，所以该复数对应的点为－1825，125，位于第二象限．故选B.(2)①3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝（3＋2i）（2＋3i）－（3－2i）（2－3i）（2－3i）（2＋3i）＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·1＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－8（3－4i）（1＋i）2（1＋i）（3－4i）i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（1＋i）i＝8＋8－16－16i＝－16i.复数除法运算法则的应用(1)复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果．比如下列结果，要记住：①1i＝－i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)．[提醒]除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最后化简．1.若复数a＋i1－2i是纯虚数，则实数a的值为()A．2B．－12C．15D．－25解析：选A.因为a＋i1－2i＝（a＋i）（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＝a－2＋（2a＋1）i5是纯虚数，所以a＝2.2．计算：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i；(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i.解：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i（2－i）5＝15＋25i.(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i＝5－3i＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝21－28i＋3i＋425＝25－25i25＝1－i.3．计算：(1)2＋2i（1－i）2＋21＋i2016；(2)i＋i2＋…＋i2017.解：(1)原式＝2（1＋i）－2i＋22i1008＝i(1＋i)＋(－i)1008＝i＋i2＋(－1)1008·i1008＝i－1＋i4×252＝i－1＋1＝i.(2)法一：原式＝i（1－i2017）1－i＝i－i20181－i＝i－（i4）504·i21－i＝i＋11－i＝（1＋i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝2i2＝i.法二：因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)，所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2013＋i2014＋i2015＋i2016)＋i2017＝i2017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.1．复数z＝i(1＋i)2(i为虚数单位)的共轭复数是()A．－2B．2C．2iD．－2i解析：选A.因为z＝i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i·2i＝－2，所以z－＝－2.2．已知复数11＋ai－21＋a2i是实数，则实数a＝()A．2B．12C．－2D．－12解析：选C.11＋ai－21＋a2i＝1－ai1＋a2－21＋a2i＝11＋a2＋－2－a1＋a2i，因为11＋ai－21＋a2i是实数，所以－2－a1＋a2＝0，解得a＝－2.3．满足方程x1－i＋y1－2i＝51－3i的实数x，y的值分别为________．解析：原方程可化为x（1＋i）2＋y（1＋2i）5＝5（1＋3i）10，即(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i.由复数相等的条件，知5x＋2y＝5，5x＋4y＝15，解得x＝－1，y＝5.答案：－1，54．计算：(1)1i＋(－3－i)3＋1＋i1－i；(2)（2＋2i）2（4＋5i）（5－4i）（1－i）.解：(1)1i＋(－3－i)3＋1＋i1－i＝－i＋2i－12＋32i3＋（1＋i）2（1－i）（1＋i）＝－i－8i＋i＝－8i.(2)（2