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3．2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章数系的扩充与复数的引入1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．第三章数系的扩充与复数的引入1．复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝__________________，z1－z2＝_________________．(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，①交换律：z1＋z2＝_______；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z12．复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.1．对复数加减法运算的五点说明(1)复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．(2)实数加法的交换律、结合律及实数的移项法则在复数运算中仍然成立．(3)两个复数的和(差)是唯一的复数．(4)可以推广到多个复数进行加、减运算．(5)在进行复数加减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可．2．对复数加减运算几何意义的两点说明(1)复数的加法：根据复数加法的几何意义知，两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数．(2)复数的减法：根据复数减法的几何意义，两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个虚数的和或差可能是实数．()(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.()(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．()(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．()(5)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×已知i是虚数单位，则复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是()A．1B．2C．－1D．－i解析：选C.z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故复数z的虚部为－1.已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝()A．3＋iB．3－iC．11－13iD．3－13i解析：选A.z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i.(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝________．(x，y∈R)解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i＝(y－x)＋5(y－x)i.答案：(y－x)＋5(y－x)i探究点1复数的加减法运算(1)计算(3－2i)＋(－4i＋5)－(6－3i)．(2)若(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝2＋i，求实数a，b的值．【解】(1)原式＝(3＋5－6)＋[－2＋(－4)－(－3)]i＝2－3i.(2)因为(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i，即－a＋(4b－3)i＝2＋i，所以－a＝2，4b－3＝1.所以a＝－2，b＝1.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析：选D.因为z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，所以2＋a＝0，b＋1＝0，即a＝－2，b＝－1，所以a＋bi＝－2－i.2．计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解：(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.探究点2复数加减法的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.(1)求AO→表示的复数；(2)求CA→表示的复数．【解】(1)因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)因为CA→＝OA→－OC→，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．若本例条件不变，试求点B所对应的复数．解：因为OB→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.2．若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．解：由题意知，点M为OB的中点，则OM→＝12OB→，由互动探究1中点B坐标为(1，6)得点M坐标为12，3，所以点M对应的复数为12＋3i.复数加减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．1.在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA→和OB→，其中O为坐标原点，则|AB→|＝()A．2B．2C．10D．4解析：选B.因为AB→＝OB→－OA→，所以AB→对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故|AB→|＝2.2．如图，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点所对应的复数．解：如题图，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则AD→＝OD→－OA→对应的复数是(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，BC→＝OC→－OB→对应的复数是(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD→＝BC→，即(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，所以x－1＝1，y－2＝－3，解得x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为()A．1B．2C．－2D．－1解析：选A.依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1.2．已知复数z1＝5＋7i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2对应的点位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.z＝z1－z2＝(5＋7i)－(1－3i)＝4＋10i，点(4，10)位于复平面内的第一象限，选A.3．下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的说法表述不正确的是()A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离C．点(2，1)到原点的距离D．坐标为(－2，－1)的向量的模解析：选B.由复数的几何意义，知复数(3＋2i)，(1＋i)分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A对；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i与向量(2，1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i与向量(－2，－1)一一对应，故C、D正确．故选B.4．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.(1)求z1－z2；(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．解：(1)由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中OZ→.知识结构深化拓展|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义的应用——复数形式的基本轨迹：(1)|z－z1|＝r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹是以复数z1对应的点为圆心，r为半径的圆．(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为端点的线段的垂直平分线．深化拓展(3)|z－z1|＋|z－z2|＝2a(a0)，当2a|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆；当2a＝|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为端点的线段；当2a|Z1Z2|时，无轨迹．(4)||z－z1|－|z－z2||＝2a(a0)，当2a|Z1Z2|时，表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的双曲线；当2a＝|Z1Z2|时，表示分别以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为端点的两条射线；当2a|Z1Z2|时，无轨迹.