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3．1.2复数的几何意义一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P104～P105，回答下列问题．(1)根据复数相等的定义，复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)之间有什么对应关系？提示：一一对应关系．(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应关系．(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？提示：一一对应关系．二、归纳总结·核心必记1．复平面的定义建立了直角坐标系来的平面叫做复平面．x轴叫做，y轴叫做，实轴上的点都表示；除外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←---------→一一对应复平面内的点；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←---------→一一对应平面向量OZ―→.表示复数实轴虚轴实数原点Z(a，b)3．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ―→，则OZ―→的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝___________.a2＋b23．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ―→，则OZ―→的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝___________.三、综合迁移·深化思维(1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i.(2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？提示：是．(3)若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？提示：a满足a＋10，a－10，即－1a1.(4)若复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|为何值？提示：|a|＝－12＋22＝5.探究点一复数与复平面内点的对应关系[思考探究]如何判断复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内所对应的点的位置？名师指津：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点(a，b)对应，根据a，b的符号判断点(a，b)所在象限或坐标轴即可．[典例精析]实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．[解]因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足x2＋x－60，x2－2x－150，即－3x2时，点Z位于第三象限．(2)当实数x满足x2＋x－60，x2－2x－150，即2x5时，点Z位于第四象限．(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．[类题通法](1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．[针对训练]1．当实数m分别为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点：(1)位于第四象限？(2)位于x轴的负半轴上？(3)位于y轴的正半轴上？解：(1)当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点位于第四象限时，有m2－8m＋150，m2＋3m－280，解得m3或m5，－7m4，∴－7m3.故当－7m3时，该复数在复平面内对应的点位于第四象限．(2)当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上时，有m2－8m＋150，m2＋3m－28＝0，解得3m5，m＝－7或m＝4，∴m＝4.故当m＝4时，该复数在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上．(3)当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上时，有m2－8m＋15＝0，m2＋3m－280，解得m＝3或m＝5，m4或m－7，∴m＝5.故当m＝5时，该复数在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上．探究点二复数与平面向量的对应关系[思考探究]与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的平面向量是什么？名师指津：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的平面向量OZ―→＝(a，b)．[典例精析](1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA―→，OB―→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA―→对应的复数是()A．－5＋5iB．5－5iC．5＋5iD．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量AB―→，AC―→，BC―→对应的复数；②若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．[解](1)向量OA―→，OB―→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量OA―→＝(2，－3)，OB―→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA―→＝OA―→－OB―→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA―→对应的复数是5－5i.(2)①设O为坐标原点，由复数的几何意义知：OA―→＝(1,0)，OB―→＝(2,1)，OC―→＝(－1,2)，所以AB―→＝OB―→－OA―→＝(1,1)，AC―→＝OC―→－OA―→＝(－2,2)，BC―→＝OC―→－OB―→＝(－3,1)，所以AB―→，AC―→，BC―→对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②因为ABCD为平行四边形，所以AD―→＝BC―→＝(－3,1)，OD―→＝OA―→＋AD―→＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.[答案](1)B[类题通法](1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[针对训练]2．已知向量OA―→对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量OA1―→平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.(1)求向量OA1―→对应的复数；(2)求点A2对应的复数．解：(1)因为向量OA―→对应的复数是4＋3i，所以点A对应的复数也是4＋3i，因此点A坐标为(4,3)，所以点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，故向量OA1―→对应的复数是4－3i.(2)依题意知OA1―→＝AA2―→，而OA1―→＝(4，－3)，设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，所以x＝8，y＝0，即A2(8,0)．所以点A2对应的复数是8.探究点三复数模的计算及应用[思考探究]复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，其几何意义是点(a，b)到坐标原点的距离．[典例精析]已知复数z1＝3＋i，z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？[解](1)|z1|＝|3＋i|＝32＋12＝2，|z2|＝－122＋322＝1，所以|z1||z2|.(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．由|z|＝|z1|＝2得x2＋y2＝2，即x2＋y2＝4.所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．法二：由|z|＝|z1|＝2知|OZ―→|＝2(O为坐标原点)，所以Z到原点的距离为2.所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．[类题通法](1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝a2＋b2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z|＝|OZ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．[针对训练]3．已知复数z＝a＋3i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A．－1＋3iB．1＋3iC．－1＋3i或1＋3iD．－2＋3i解析：由题意得a2＋3＝4，a0，解得a＝－1.故z＝－1＋3i.答案：A[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数与复平面内点的对应关系，见探究点一；(2)复数与平面向量的对应关系，见探究点二；(3)复数模的计算及应用，见探究点三．