2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义课件 新人

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3.1.2复数的几何意义第三章数系的扩充与复数的引入1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、复数的模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.第三章数系的扩充与复数的引入1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_______,x轴叫做_____,y轴叫做_____.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.复平面实轴虚轴2.复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)←—――→一一对应复平面内的点Z(a,b).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)←—――→一一对应平面向量OZ→.3.复数的模复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ→,则OZ→的模叫做复数z的模,记作|z|或|a+bi|,且|z|=________.a2+b21.复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示.2.实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.3.虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.4.复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点.()(2)实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示纯虚数.()(3)若|z1|=|z2|,则z1=z2.()答案:(1)√(2)×(3)×复数z=1-3i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1||z2|,则实数a的取值范围是()A.a-1或a1B.-1a1C.a1D.a0解析:选B.|z1|=a2+4,|z2|=(-2)2+12=5,因为|z1||z2|,所以a2+45,即a21,所以-1a1.向量AB→=(2,-3)对应的复数z=________.答案:2-3i探究点1复数与复平面内的点已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限.【解】(1)若对应的点在实轴上,则有2a-1=0,解得a=12.(2)若z对应的点在第三象限,则有a2-10,2a-10.解得-1a12.故a的取值范围是-1,12.本例中复数z不变,若点Z在抛物线y2=4x上,求a的值.解:因为z对应的点(a2-1,2a-1)在抛物线y2=4x上,所以(2a-1)2=4(a2-1),即4a2-4a+1=4a2-4,解得a=54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.1.若复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方,则()A.a0且b0B.a∈R且b0C.a≥0且b0D.a∈R且b0解析:选B.复数a+bi在复平面内对应的点在实轴的上方,则复数的实部a∈R,虚部b0.故选B.2.已知i是虚数单位,在复平面内,复数-2+i和1-3i对应的点之间的距离是()A.5B.10C.5D.25解析:选C.由于复数-2+i和1-3i对应的点分别为(-2,1),(1,-3),因此由两点间的距离公式,得这两点间的距离为(-2-1)2+[1-(-3)]2=5,故选C.3.实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z在:(1)第三象限;(2)第四象限;(3)直线x-y-3=0上.解:因为x是实数,所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数.(1)当实数x满足x2+x-60,x2-2x-150,即-3x2时,点Z在第三象限.(2)当实数x满足x2+x-60,x2-2x-150,即2x5时,点Z在第四象限.(3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即x=-2时,点Z在直线x-y-3=0上.探究点2复数与复平面内的向量(1)已知平面直角坐标系中O是原点,向量OA→,OB→对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA→对应的复数是()A.-5+5iB.5-5iC.5+5iD.-5-5i(2)在复平面内,把复数3-3i对应的向量按顺时针方向旋转π3,所得向量对应的复数是________.【解析】(1)向量OA→,OB→对应的复数分别记作z1=2-3i,z2=-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量OA→=(2,-3),OB→=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA→=OA→-OB→=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量BA→对应的复数是5-5i.(2)3-3i对应向量为(3,-3),与x轴正半轴夹角为30°,顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴负半轴上,且模为23.故所得向量对应的复数是-23i.【答案】(1)B(2)-23i(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.1.已知O是原点,点M的坐标是(-3,-4),则向量OM→对应的复数z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i解析:选A.OM→对应的复数等于点M对应的复数,则z=-3-4i.2.在复平面内,O是原点,向量OA→对应的复数为2+i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量OB→对应的复数;(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.解:(1)设向量OB→对应的复数为z1=x1+y1i(x1,y1∈R),则点B的坐标为(x1,y1),由题意可知,点A的坐标为(2,1).根据对称性可知:x1=2,y1=-1,故z1=2-i.(2)设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则点C的坐标为(x2,y2),由对称性可知:x2=-2,y2=-1,故z2=-2-i.探究点3复数的模(1)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2(2)设z∈C,则满足下列条件的点Z的集合是什么图形?①|z|=2;②|z|≤3.【解】(1)选B.因为x+xi=1+yi,所以x=y=1,所以|x+yi|=|1+i|=12+12=2.(2)设z=x+yi(x,y∈R),①|z|=2,所以x2+y2=2,所以点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.②|z|≤3,所以x2+y2≤9.所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.(2)从几何意义上理解,复数的模表示点Z到原点的距离,类比向量的模,可进一步引申:|z-z1|表示点Z与点Z1之间的距离.如|z-i|=1表示点Z与(0,1)之间的距离为1,所以点Z的轨迹是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.1.(2018·泉州五中期末)已知复数z1=2+i,z2=-i,则|z1||z2|=()A.55B.15C.5D.5解析:选C.依题意|z1|=22+12=5,|z2|=(-1)2=1,所以|z1||z2|=5,故选C.2.已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|4,则实数a的取值范围为________.解析:法一:因为z=3+ai(a∈R),所以|z|=32+a2,由已知得32+a242,所以a27,所以a∈(-7,7).法二:由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z(3,a)的集合,由图可知-7a7.答案:(-7,7)3.使log12x-4i≥|3+4i|成立的实数x的取值范围是________.解析:由已知,得log12x2+(-4)2≥32+42,所以log12x2≥9,即log12x≤-3或log12x≥3,解得x≥8或0x≤18.答案:0,18∪[8,+∞)1.已知复数z=a+a2i(a0),则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:选B.因为a0,所以复数z=a+a2i对应的点(a,a2)位于第二象限.2.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)解析:选A.由题意知m+30,m-10,即-3m1.故实数m的取值范围为(-3,1).3.已知平行四边形OABC,O,C两点在复平面内对应的复数分别为0,3-2i,则|AB→|=________.解析:由于OABC是平行四边形,故AB→=OC→,因此|AB→|=|OC→|=|3-2i|=13.答案:134.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量AB→,AC→,BC→对应的复数;(2)判定△ABC的形状.解:(1)由复数的几何意义知:OA→=(1,0),OB→=(2,1),OC→=(-1,2),所以AB→=OB→-OA→=(1,1),AC→=OC→-OA→=(-2,2),BC→=OC→-OB→=(-3,1),所以AB→,AC→,BC→对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为|AB→|=2,|AC→|=22,|BC→|=10,所以|AB→|2+|AC→|2=|BC→|2,所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.知识结构深化拓展1.复数与复平面内的点一一对应的注意点(1)复数的实质是有序实数对.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.(3)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi(a,b∈R)是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写;复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.深化拓展2.对复数模的两点说明(1)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=a2+b2,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小.(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.

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