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3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P103，回答下列问题．(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．(2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使i·i＝－1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到a＋i，bi.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到a＋bi.二、归纳总结·核心必记1．复数的概念及代数表示(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝.全体复数所成的集合C叫做．(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的与．－1复数集实部虚部2．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是.3．复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)b＝0，b≠0当a＝0时为纯虚数.(2)集合表示：a＝c且b＝d实数虚数三、综合迁移·深化思维(1)复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部．(2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虚部是b还是bi?提示：虚部为b.(3)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？提示：b＝0.(4)复数集C与实数集R之间有什么关系？提示：RC.(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0.(6)a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的充要条件吗？提示：不是．因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．(7)z1＝3＋2i，z2＝12－3i，z3＝－0.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1z2?提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为12，虚部为－3；z3的实部为0，虚部为－0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1z2.(8)若(a－2)＋bi0，则a，b应满足什么条件？提示：要使(a－2)＋bi0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－20，即b＝0，a－20，故a2，b＝0.探究点一复数的概念[典例精析]下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且ab，则a＋ib＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3[解析]①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.[答案]A[类题通法](1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．[针对训练]1．下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z20，则z1z2.③任意两个复数都不能比较大小．解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．答案：①探究点二复数的分类[思考探究]当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？名师指津：当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．[典例精析]实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解](1)当x满足x2－2x－15＝0，x＋3≠0，即x＝5时，z是实数．(2)当x满足x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．[类题通法]判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．[针对训练]2．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)若z为实数，则m2＋2m＋10，m2＋3m＋2＝0，即m≠－1，m＝－2或m＝－1，解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．(2)若z是虚数，则m2＋2m＋10，m2＋3m＋2≠0，即m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1.∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)若z为纯虚数，则lgm2＋2m＋1＝0，m2＋3m＋2≠0，即m2＋2m＋1＝1，m2＋3m＋2≠0，即m＝0或m＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．探究点三复数相等的充要条件[思考探究]若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则z1＝z2的充要条件是什么？名师指津：z1＝z2⇔a＝c且b＝d.[典例精析]根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.[解](1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴2x－1＝y，1＝－3－y，解得x＝52，y＝4.[类题通法]复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．[针对训练]3．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．解：因为M∪N＝N，所以M⊆N，所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由复数相等的充要条件得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0或m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由复数的分类求参数，见探究点二；(2)复数相等的充要条件的应用，见探究点三．3．若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．这是本节课的易错点．