2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.

3．2.2复数代数形式的乘除运算课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成，并且把实部和虚部分别合并．□01(ac－bd)＋(ad＋bc)I□02－1课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复数的乘法运算律设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，有交换律：z1·z2＝z2·z1；结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为．虚部不等于0的两个共轭复数也叫．4．复数除法的法则(a＋bi)÷(c＋di)＝□05ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．□03共轭复数□04共轭虚数课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()××√课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)复数3i＋1＝________.(2)复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．(3)复数2－1i的共轭复数是________．答案(1)32－32i(2)四(3)2－i答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1复数的乘除运算例1(1)复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝()A．0B．2C．－2iD．2i(2)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)·i的实部为________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解析](1)解法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2－3i2＋3i＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.解法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i－－i2＋3i2＋3i＝i＋i＝2i.(2)(z1－z2)·i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i＝(－2＋20i)·i＝－20－2i，∴(z1－z2)·i的实部为－20.[答案](1)D(2)－20答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)原式＝－2＋3i1＋2i＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i＝－2＋6＋3＋4i12＋22＝45＋75i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2共轭复数例2z－是z的共轭复数，若z＋z－＝2，(z－z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]D答案[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，又z＋z－＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)复数的代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a为实部、b为虚部．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数就是z－＝a－bi(a，b∈R)．(2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2bz－＝(a＋2z)2.解因为z＝1＋i，所以az＋2bz－＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2bz－＝(a＋2z)2，得a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4a＋2，解得a1＝－2，b1＝－1或a2＝－4，b2＝2.所以所求实数为a1＝－2，b1＝－1或a2＝－4，b2＝2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3复数in的周期性运算例3计算：(1)2＋2i1－i2＋21＋i2020；(2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019.[解](1)2＋2i1－i2＋21＋i2020＝2＋2i－2i＋22i1010＝i(1＋i)＋1i1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝－2＋i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2015＋i2016＋i2017＋i2018)＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＝0.解法二：1＋i＋i2＋…＋i2019＝1－i20201－i＝1－i505×41－i＝1－11－i＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升in(n∈N*)的性质根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中i0＝1，i－n＝1in(n∈N*)．另外，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】(1)当z＝－1－i2时，z100＋z50＋1的值等于()A．1B．－1C．iD．－i(2)计算1＋i1－i6＋2＋3i3－2i的值为________．答案(1)D(2)－1＋i答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)∵z2＝－1－i22＝－2i2＝－i，∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.(2)原式＝1＋i226＋2＋3i3＋2i3＋2＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2.共轭复数性质可以用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．复数i(2－i)＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.选A.解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复数21－i等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析21－i＝21＋i1－i1＋i＝21＋i2＝1＋i，∴选A.解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．(1＋i)2－2－i2＋i＝________.解析(1＋i)2－2－i2＋i＝2i－2－i25＝－35＋145i.解析答案－35＋145i答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝________.解析(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝(11－2i)(－1＋i)＝－9＋13i.解析答案－9＋13i答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．把复数z的共轭复数记作z－，已知i·z－＝4＋3i，求zz－.解由i·z－＝4＋3i得z－＝4＋3ii＝3－4i，所以z＝3＋4i.所以zz－＝3＋4i3－4i＝3＋4i23－4i3＋4i＝－7＋24i25.答案