2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.

3．1.2复数的几何意义课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．复平面的相关概念课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)．□01复平面□02实轴□03虚轴课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复数的向量表示如图，在复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ→是由唯一确定的；反过来，点Z(相应与原点来说)也可以由向量唯一确定．□04点Z□05OZ→课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi一一对应平面向量OZ→.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示．□06同一个复数课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．向量的模的定义公式向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作或.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模等于(就是a的)．由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．□07|z|□08|a＋bi|□09a□10|a|□11绝对值课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练复数的向量表示(1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ→对应，这些对应都是一一对应，即课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()×√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为________．(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限．(3)复数3i的模是________．答案(1)－3i(2)四(3)3答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1复平面内复数与点的对应例1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得m2－m－20，m2－3m＋20，∴－1m2，m2或m1，∴－1m1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[结论探究]本例中的复数z对应的点在单位圆上时，试求m应满足的关系式．[解]当点z在圆x2＋y2＝1上时，有(m2－m－2)2＋(m2－3m＋2)2＝1，化简得：2m4－8m3＋10m2－8m＋7＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解(1)由m2－2m－150，得m－3或m5，所以当m－3或m5时，复数z对应的点在x轴上方．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－52，所以当m＝1或m＝－52时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2复平面内复数与向量的对应例2已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数．[解](1)∵AO→＝0－(3＋2i)＝－3－2i，∴AO→表示的复数为－3－2i.(2)∵CA→＝(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.∴CA→表示的复数为5－2i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)∵OB→＝OA→＋OC→，∴OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________；(2)在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1＋2i，点A关于直线y＝－x对称点为B，则向量OB→对应复数为________．答案(1)－6－8i(2)－2＋i答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，所以OA→＝(4,3)，OB→＝(－2，－5)，又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i.(2)点A(－1,2)关于直线y＝－x对称点为B是(－2,1)，所以OB→＝－2＋i.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3复数模的综合应用例3(1)复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹方程是________；(2)设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？[解析](1)|z|＝x＋12＋y－22＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝9.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案](1)(x＋1)2＋(y－2)2＝9(2)见解析答案(2)解法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升根据复数的几何意义及复数模的定义可知，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模的几何意义就是复平面内点(a，b)到原点的距离．解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】(1)已知复数z＝3＋ai，且|z|5，则实数a的取值范围________；(2)设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？①1|z|2；②|z－i|1.答案(1)－4a4(2)见解析答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)|z|＝32＋a25，解得－4a4.(2)①设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2.由题意1x2＋y22，即1x2＋y24.∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练②根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2.复数的模(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2，它表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.(2)复数的模是实数绝对值概念的扩充，与实数的绝对值一样也是非负实数，因此复数的模是可以比较大小的.(3)复数的模相等是两个复数相等的必要不充分条件.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．已知a∈R，且0a1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵0a1，∴a0且a－10，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D.解析答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠1C．a＝0D．a＝2或a＝0解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.解析答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.解析因为z＝1＋2i，所以|z|＝12＋22＝5.解析答案5答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________．解析由|x－2＋yi|＝22，得(x－2)2＋y2＝8.解析答案(x－2)2＋y2＝8答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．解因为复数z对应的点在第一象限，所以m2＋m－10，4m2－8m＋30，解得m－1－52或m32.所以实数m的取值范围为－∞，－1－52∪32，＋∞.答案