2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于()A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称答案A答案解析复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为Z1(1，3)．复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为Z2(1，－3)，点Z1与Z2关于实轴对称．解析2．当23m1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D答案解析∵23m1，∴23m3，∴03m－21且－13m－10，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．解析3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1||z2|，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．a1C．a0D．a－1或a0解析依题意有a2＋22－22＋12，解得－1a1.解析答案A答案4．若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B答案解析cosB－sinA＝sinπ2－B－sinA.∵△ABC为锐角三角形，∴A＋Bπ2.∴Aπ2－B，∴sinAsinπ2－B，∴cosB－sinA0.同理可知sinB－cosA0，∴复数z对应的点位于第二象限．故选B.解析5．已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是()A．－3B.3iC．±3iD．±3解析设复数z的虚部为b，因为|z|＝2，实部为1，所以1＋b2＝4，所以b＝±3.解析答案D答案6．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案A答案解析设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|2z＋1|＝|z－i|，∴(2x＋1)2＋4y2＝x2＋(y－1)2，化简得3x2＋3y2＋4x＋2y＝0满足42＋22－4×3×00，∴方程表示圆．故选A.解析二、填空题7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)．所以z2＝－2＋3i.解析答案－2＋3i答案8．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是________．解析根据题意，有2k2－3k－20，k2－k0，即－12k2，k0或k1，所以实数k的取值范围是－12k0或1k2.解析答案－12k0或1k2答案9．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是________．答案5答案解析由已知，得OA→＝(－1,2)，OB→＝(1，－1)，OC→＝(3，－2)，∴xOA→＋yOB→＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．由OC→＝xOA→＋yOB→，可得－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，∴x＋y＝5.解析三、解答题10．已知O为坐标原点，OZ1→对应的复数为－3＋4i，OZ2→对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1→与OZ2→共线，求a的值．解因为OZ1→对应的复数为－3＋4i，OZ2→对应的复数为2a＋i，因为OZ1→＝(－3,4)，OZ2→＝(2a,1)，因为OZ1→与OZ2→共线，所以存在实数k使OZ2→＝kOZ1→，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，答案所以2a＝－3k，1＝4k，所以k＝14，a＝－38，即a的值为－38.答案B级：能力提升练11．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的D点对应的复数．解解法一：由已知条件得点A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E2，32，由平行四边形的性质知点E也是边BD的中点，设D(x，y)，则x＋12＝2，y＋02＝32，解得x＝3，y＝3，即D(3,3)，∴D点对应复数为3＋3i.答案解法二：由已知得向量OA→＝(0,1)，OB→＝(1,0)，OC→＝(4,2)，其中O为坐标原点．∴BA→＝(－1,1)，BC→＝(3,2)，∴BD→＝BA→＋BC→＝(2,3)，∴OD→＝OB→＋BD→＝(3,3)，即点D对应复数为3＋3i.答案12．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1||z2|成立，试求实数a的取值范围．解∵|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|，且|z1||z2|，∴x4＋x2＋1|x2＋a|对任意的x∈R恒成立等价于(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．不等式等价于①：1－2a＝0，解得a＝12，∴a＝12时，0·x2＋1－140恒成立，答案或②：1－2a0，Δ＝－41－2a1－a20.解得－1a12.∴a∈－1，12.综上可得，实数a的取值范围是a－1a≤12.答案