2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.

3.1.1数系的扩充和复数的概念课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．虚数单位i在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行，且原有的加、乘运算律仍然成立．□01－1□02四则运算课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复数的相关概念集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做，其中i叫做．全体复数的集合C叫做．复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做．其中的a与b分别叫做复数z的．□03复数□04虚数单位□05复数集□06复数的代数形式□07实部与虚部课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．复数的分类对于复数z＝a＋bi，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当且仅当时，叫做虚数；当时，叫做纯虚数．□08b＝0□09a＝b＝0□10b≠0□11a＝0，且b≠0课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是．□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．()(3)bi是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()×√××课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)00(2)0,1＋3(3)±1答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1复数的有关概念例1给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]0答案[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则ai不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且ab，则a＋ib＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A．①B．②C．③D．④答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2复数的分类例2当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当m2－2m＝0，m≠0，即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；(3)当m2＋m－6m＝0，m2－2m≠0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋m2＋m－6mi是纯虚数？[解]由z＝(m2－2m)＋m2＋m－6mi是纯虚数，得m2－2m＝0，m2＋m－6m≠0，解得m∈∅.即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋m2＋m－6mi是纯虚数．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且mm＋2m－1有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z为纯虚数，需满足mm＋2m－1＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3复数相等例3已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．[解]∵M∪P＝P，∴M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练得m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.∴实数m的值为1或2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．解由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，∴a2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0.解得a＝4或a＝－1，a＝6或a＝－1，∴a＝－1.故实数a的值为－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.在复数a＋bi中，a，b必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b”，不是“bi”，更不是“i”.3.当且仅当b≠0且a＝0时，复数a＋bi才是纯虚数，解题时不能只注意a＝0而忽视了b≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－2＋2iD.2＋2i解析3i－2的虚部为3,3i2＋2i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．解析由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±2，b＝5.解析答案±2，5答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．设复数z＝1m＋5＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．解析依题意有m2＋2m－15＝0，m＋5≠0，解得m＝3.解析答案3答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．如果log12(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数m，n的值．解∵log12(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，∴log12m＋n≥－1，－m2－3m＝0.∴0m＋n≤2，m＝0或m＝3.∵m，n∈N，∴m＝0，n＝1或n＝2.答案