2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数课件 北师大版

1．两角和与差的正切公式是什么？2．和与差正切公式中α，β，α＋β，α－β满足条件是什么？2．3两角和与差的正切函数一、预习教材·问题导入两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝两角差的正切tan(α－β)＝(Tα＋β)(Tα－β)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)二、归纳总结·核心必记[点睛](1)公式Tα±β中tanα，tanβ，tan(α±β)必须都有意义，因此α，β，α±β均不能为kπ＋π2，k∈Z.(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立()√×三、基本技能·素养培优2．若tanα＝3，tanβ＝43，则1tanα－β等于()A．－3B．－13C．3D.13解析：选C1tanα－β＝1＋tanαtanβtanα－tanβ＝53－43＝3.3．tan(－165°)的值为()A．2＋3B．－2－3C．2－3D.3－2解析：选Ctan(－165°)＝－tan165°＝－tan(45°＋120°)＝－tan45°＋tan120°1－tan45°tan120°＝－1－31－－3＝2－3.4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于________．解析：∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝21－tanαtanβ＝4，∴tanαtanβ＝12.答案：12[典例](1)若α＋β＝π3，tanα＋3(tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)，则tanβ＝________；(2)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°的值是________．考点一化简求值问题[解析](1)∵α＋β＝π3，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，∴tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，∴tanα＋3tanαtanβ＋3c＝3－tanβ＋3c＝0，∴tanβ＝3(c＋1)．(2)∵tan60°＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.[答案](1)3(c＋1)(2)3[类题通法]利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tanπ4”，“3＝tanπ3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[针对训练]tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°的值应是()A．－1B．1C.3D．－3解析：选D∵tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°，∴原式＝tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°tan10°tan50°＝－3.考点二给值求值[典例]已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)．[解]∵tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，∴tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.[类题通法]“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角．[针对训练]已知sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．解：由题意，得cosα－β2＝－35，sinα2－β＝－513，∴tanα－β2＝－43，tanα2－β＝512，∴tanα＋β2＝tanα－β2－α2－β＝tanα－β2－tanα2－β1＋tanα－β2tanα2－β＝－43－5121－43×512＝－6316.考点三给值求角[典例]已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[解]∵tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝12，∴tanα－－171＋tanα－17＝12.∴tanα＝13.∴tanπ4＝1＞tanα＝13＞0.又∵α∈(0，π)，∴α∈(0，π4)．∴2α∈(0，π2)．∵β∈(0，π)，tanβ＝－17，∴β∈(π2，π)．∴－π＜2α－β＜0.∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝12＋131－12×13＝1＞0，∴2α－β＝－3π4.[类题通法]在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．[针对训练]若tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tanα＋tanβ＝－330，tanα×tanβ＝40，∴tanα0，tanβ0，∴α，β∈(－π2，0)，∴α＋β∈(－π，0)而tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π3