2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变形 2 2.1 2.2 两角差的余弦函数、两角和与

1．两角和与差的余弦公式是什么？2．两角和与差的正弦公式是什么？§2两角和与差的三角函数2．1&2.2两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数一、预习教材·问题导入两角和与差的正弦、余弦公式名称公式简记符号使用条件两角差的余弦cos(α－β)＝(Cα－β)α，β∈R两角和的余弦cos(α+β)＝(Cα＋β)α，β∈R两角差的正弦sin(α+β)＝(Sα－β)α，β∈R两角和的正弦sin(α－β)＝(Sα＋β)α，β∈Rcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ二、归纳总结·核心必记[点睛](1)Cα±β和Sα±β公式中角α，β是任意的，当α，β中有一个是π2的整数倍时，利用诱导公式较为简捷．(2)一般情况下，sin(α±β)≠sinα±sinβ.(3)两角和与差的余弦公式可以简记为“余余正正，符号相反”；两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不论α，β为何值sin(α＋β)≠sinα＋sinβ()(2)存在α，β的值cos(α＋β)＝cosα－cosβ()×√2．cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ化简为()A．sin(2α＋β)B．cos(α－2β)C．cosαD．cosβ解析：选C原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.三、基本技能·素养培优3．cos165°的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.－6－24解析：选Dcos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°＝－22×32－22×12＝－6－24.4．化简：sinα＋30°＋cosα＋60°2cosα＝________.解析：∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝32sinα＋12cosα＋12cosα－32sinα＝cosα，∴原式＝cosα2cosα＝12.答案：12[典例]求值．(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°.考点一给角求值[解](1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝22.(2)(tan10°－3)cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°＝sin－50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.[类题通法]解决给角求值问题的策略对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．[针对训练]求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.解：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝2sin50°＋sin10°1＋3sin10°cos10°·2cos210°＝2sin50°＋2sin10°12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos210°＝2sin50°＋2sin10°·cos50°cos10°·2cos10°＝22(sin50°·cos10°＋sin10°·cos50°)＝22sin60°＝6.考点二给值求值[典例](1)若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sinπ2＋φ＝－255，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值；(2)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，求cosα＋π4的值．[解](1)∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－35，∴sinθ＝35，又θ是第二象限角，∴cosθ＝－45.∵sinπ2＋φ＝cosφ＝－255，且φ为第三象限角，∴sinφ＝－55，∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝－45×－255＋35×－55＝55.(2)∵α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，∴3π2＜α＋β＜2π，π2＜β－π4＜3π4.∴cos(α＋β)＝45，cosβ－π4＝－513.∴cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝45×－513＋－35×1213＝－5665.[类题通法]解答此类题目要注意以下两点：(1)拆拼角技巧先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻烦．常见的拆角、拼角技巧：α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；(2)确定相关角的范围2β＝(α＋β)－(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)等．若题目中给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．[针对训练]已知cosα－π6＝1213π6απ2，求cosα.解：由于0α－π6π3，cos(α－π6)＝1213，所以sin(α－π6)＝513.所以cosα＝cosα－π6＋π6＝cosα－π6cosπ6－sinα－π6sinπ6＝1213×32－513×12＝123－526.考点三给值求角[典例]已知α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210，求α.[解]∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π)，∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，∵β∈－π2，0，sinβ＝－210，∴cosβ＝7210，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×7210＋35×－210＝22，又∵α∈0，π2，∴α＝π4.[类题通法](1)解决该类问题实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．(2)解给值求角问题的步骤①求解的某一个三角函数；②确定角的范围；③据范围写出角．[针对训练]已知α，β是锐角，且sinα＝473，cos(α＋β)＝－1114.求角β.解：∵α是锐角，且sinα＝437，∴cosα＝1－sin2α＝1－4372＝17.又∵cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314，∴sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－(－1114)×437＝32.∴β＝π3.考点四含有式子asinx±bcosx的问题[典例]把函数y＝22(cos3x－sin3x)的图象适当变化就可以得到函数y＝－sin3x的图象，这个变化可以是()A．沿x轴方向向右平移π4个单位长度B．沿x轴方向向左平移π4个单位长度C．沿x轴方向向右平移π12个单位长度D．沿x轴方向向左平移π12个单位长度[解析]因为y＝22(cos3x－sin3x)＝－sin3x·22－cos3x·22＝－sin3x－π4＝－sin3x－π12，所以为得到函数y＝－sin3x的图象可以将函数y＝22(cos3x－sin3x)的图象向左平移π12个单位长度．[答案]D[类题通法]形如f(x)＝asinx±bcosx的式子可化为f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)或f(x)＝a2＋b2cos(x＋φ)的形式，再利用三角函数的性质求解．[针对训练]已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为()A.π2B.2π3C．πD．2π解析：选Cf(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx×32＋cosωx×12＝2sinωx＋π6.令f(x)＝1，得sinωx＋π6＝12，∴ωx1＋π6＝π6＋2kπ或ωx2＋π6＝5π6＋2kπ.∵|x1－x2|min＝π3，∴ω(x2－x1)＝2π3，∴ω＝2，∴T＝2πω＝π.