2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第2课时两角和与差的正切公式第三章三角恒等变换考点学习目标核心素养两角和与差的正切公式能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式逻辑推理两角和与差的正切公式的应用能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明数学运算、逻辑推理第三章三角恒等变换问题导学预习教材P129－P131，并思考下列问题：1．怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？2．公式T(α±β)的应用条件是什么？两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝_____________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝_____________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ■名师点拨运用两角和与差的正切公式应注意的问题(1)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)当tanα，tanβ，tan(α＋β)或tan(α－β)中任一个的值不存在时，不能使用两角和或差的正切公式解决问题，但可改用诱导公式或其他方法解题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tanπ2＋π4能用公式tan(α＋β)展开．()(2)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(3)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()答案：(1)×(2)√(3)×已知tanα＝2，则tanα＋π4＝()A．－3B．3C．－4D．4答案：Atan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝()A.3B．－3C.33D．－33答案：Atan75°＝________，tanπ12＝________．答案：2＋32－3求值：(1)tan105°；(2)3－tan15°1＋3tan15°；(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.正切公式的活用【解】(1)tan105°＝tan(45°＋60°)＝tan45°＋tan60°1－tan45°tan60°＝1＋31－3＝－2－3.(2)原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.(3)因为tan60°＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，所以tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，所以tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tanπ4来代换，以达到化简求值的目的，如1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α；3tanα＋31－tanα＝3tanα＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．1.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝________．解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.答案：32．tanπ9＋tan2π9＋3tanπ9tan2π9的值为________．解析：tanπ9＋tan2π9＋3tanπ9tan2π9＝tanπ9＋2π91－tanπ9tan2π9＋3tanπ9tan2π9＝31－tanπ9tan2π9＋3tanπ9tan2π9＝3.答案：3(1)已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π3＝13，求tanα＋π3.(2)已知A，B，C是三角形ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，求tanC.条件求值【解】(1)tanα＋π3＝tan（α＋β）－β－π3＝tan（α＋β）－tanβ－π31＋tan（α＋β）tanβ－π3＝35－131＋35×13＝29.(2)因为tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，所以tanA＋tanB＝－83，tanAtanB＝－13，所以tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－831－－13＝－2.又A＋B＋C＝π，所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.[变设问]本例(1)的条件不变，求tanα.解：tanα＝tanα＋π3－π3＝tanα＋π3－tanπ31＋tanα＋π3tanπ3＝29－31＋29×3＝72－85369.条件求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．已知cosθ＝－1213，θ∈π，3π2，则tanθ－π4＝________．解析：因为cosθ＝－1213，θ∈π，3π2，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－513，所以tanθ＝sinθcosθ＝512.所以tanθ－π4＝tanθ－tanπ41＋tanθtanπ4＝512－11＋512＝－717.答案：－717已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0＜α＜π2，π2＜β＜π.(1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．给值求角(值)【解】(1)因为tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2＋131－23＝7.(2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131＋23＝1，又因为0＜α＜π2，π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1.所以α＋β＝5π4.解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．若1＋tanα＋tanβ－tanαtanβ＝0，且α，β∈π2，π，则α＋β＝________．解析：因为1＋tanα＋tanβ－tanαtanβ＝0，所以tanα＋tanβ＝－(1－tanαtanβ)，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1.又α，β∈π2，π，所以πα＋β2π，故α＋β＝7π4.答案：7π41．已知cosπ2＋α＝2cos(π－α)，则tanπ4－α＝()A．－4B．4C．－13D.13解析：选C.因为cosπ2＋α＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα⇒tanα＝2，所以tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα＝－13.2．已知tan(α＋β)＝7，tanα＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝7－341＋7×34＝1，因为β∈(0，π)，所以β＝π4.答案：π43．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）tan（α－β）＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.