2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.

3.1.3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos_2α＝cos2α－sin2α，sin_2α＝2sin_αcos_α，tan_2α＝2tanα1－tan2α.二、归纳总结·核心必记二倍角公式三、综合迁移·深化思维(1)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？提示：S2α，C2α中α∈R，T2α中α≠kπ＋π2且α≠kπ2±π4.(2)能应用tanα表示sin2α，cos2α吗？提示：sin_2α＝2sin_αcos_α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α，cos_2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α.探究点一化简求值[典例精析]1．求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°cos40°cos80°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.[类题通法]化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[针对训练]1．化简：(1)11－tanθ－11＋tanθ；(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.解：(1)原式＝（1＋tanθ）－（1－tanθ）（1－tanθ）（1＋tanθ）＝2tanθ1－tan2θ＝tan2θ.(2)原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π2－π4－α＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsin2×π4－2α＝cos2αcos2α＝1.探究点二条件求值[典例精析]2．(1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值；(2)已知α∈－π2，π2，且sin2α＝sinα－π4，求α.[解](1)∵π2≤α3π2，∴3π4≤α＋π47π4.∵cosα＋π40，∴3π2α＋π47π4.∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45.∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725.∴cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×－2425－725＝－31250.(2)∵sin2α＝－cos2α＋π2＝－2cos2α＋π4－1，sinα－π4＝－sinπ4－α＝－cosπ2－π4－α＝－cosπ4＋α，∴原式可化为1－2cos2α＋π4＝－cosα＋π4，解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12.∵α∈－π2，π2，∴α＋π4∈－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[类题通法][针对训练]2．已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，α∈π2，π，求sin4α的值；解：∵sinπ4＋αsinπ4－α＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，∴sinπ2＋2α＝13，即cos2α＝13.∵α∈π2，π，∴2α∈(π，2π)．∴sin2α＝－1－cos22α＝－223.∴sin4α＝2sin2αcos2α＝2×－223×13＝－429.解：由原式，得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，∴(2sinαcosα)2＋2sinαcos2α－2cos2α＝0.∴2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0.∴2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos2α≠0，sinα＋1≠0.∴2sinα－1＝0.∴sinα＝12，∴α＝π6.3.已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，求锐角α.探究点三倍角公式的综合应用[典例精析]3．已知向量a＝(sinA，cosA)，b＝(3，－1)，a·b＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．[解](1)由题意得a·b＝3sinA－cosA＝1，2sinA－π6＝1，sinA－π6＝12.由A为锐角得A－π6＝π6，所以A＝π3.(2)由(1)知cosA＝12，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32.因为x∈R，所以sinx∈[－1，1]，因此，当sinx＝12时，f(x)有最大值32.当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是－3，32.二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.[类题通法](2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.[针对训练]4．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4，即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用．2．要掌握二倍角公式的三个应用(1)解决化简求值问题，见探究点一；(2)解决条件求值问题，见探究点二；(3)倍角公式的综合应用，见探究点三.3．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；(2)cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x；(3)cos2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x.