2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、预习教材·问题导入根据以下提纲,预习教材P128~P131的内容,回答下列问题.(1)把公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ中的β用-β代替,结果如何?提示:cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β.(2)由公式C(α±β)可以得到sin(α+β)的公式吗?提示:可以,sin(α+β)=cosπ2-(α+β)=cosπ2-α-β=sinαcosβ+cosαsinβ.(3)如何由sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式?提示:以-β代替sin(α+β)中的β,即可得sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β.(4)如何用tanα和tanβ表示tan(α+β)和tan(α-β)?提示:①tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ-sinαsinβ=tanα+tanβ1-tanαtanβ.②tan(α-β)=sin(α-β)cos(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=tanα-tanβ1+tanαtanβ.二、归纳总结·核心必记1.两角和与差的余弦公式三、综合迁移·深化思维(1)sin(α+β)=sinα+sinβ能否成立?若成立,在什么情况下成立?提示:不一定成立,当α=2kπ或β=2kπ或α=β=kπ,k∈Z时成立.(2)两角和与差的正切公式对任意α,β均成立吗?提示:不是的.在两角和的正切公式中,使用条件是:α,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z);在两角差的正切公式中,使用条件是:α,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z).探究点一给角求值问题[典例精析]1.化简求值:(1)sin13°cos17°+sin77°cos73°;(2)sinπ12-3cosπ12;(3)1-tan15°1+tan15°;(4)tan72°-tan42°-33tan72°tan42°.[解](1)原式=sin13°cos17°+sin(90°-13°)·cos(90°-17°)=sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin(13°+17°)=sin30°=12.(2)原式=212sinπ12-32cosπ12=2sinπ12cosπ3-cosπ12sinπ3=2sinπ12-π3=-2sinπ4=-2.(3)原式=tan45°-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°-15°)=tan30°=33.(4)∵tan30°=tan(72°-42°)=tan72°-tan42°1+tan72°•tan42°,∴tan72°-tan42°=tan30°(1+tan72°tan42°).∴原式=tan30°(1+tan72°tan42°)-33tan72°tan42°=33.[类题通法]1.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.2.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构,正确选用公式形式:T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”,“3”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tanπ4”,“3=tanπ3”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.[针对训练]1.求值:(1)sin15°+cos15°;(2)sin119°sin181°-sin91°sin29°;(3)tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解:(1)法一:sin15°+cos15°=2sin15°·22+cos15°·22=2sin(15°+45°)=2sin60°=62.法二:sin15°+cos15°=2cos15°·22+sin15°·22=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°)=2cos(45°-15°)=2cos30°=62.(2)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin29°=cos29°(-sin1°)-cos1°sin29°=-(sin29°cos1°+cos29°sin1°)=-sin(29°+1°)=-sin30°=-12.(3)原式=tan10°tan20°+tan60°(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.探究点二给值(式)求角问题[典例精析]2.已知α,β均为锐角,且sinα=55,cosβ=1010,求α-β的值.[解]∵α,β均为锐角,且sinα=55,cosβ=1010,∴cosα=255,sinβ=31010.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=255×1010+55×31010=22.又∵α,β均为锐角,∴-π2α-βπ2.又∵sinαsinβ,∴αβ,即α-β0.从而-π2α-β0,故α-β=-π4.[类题通法]给值求角问题的解题策略(1)解答此类题目的步骤为:第一步,求角的某一个三角函数值;第二步,确定角所在的范围;第三步,根据角的取值范围写出所求的角.至于选取角的哪一个三角函数值,应根据所求角的取值范围确定,最好是角的取值范围在该函数的单调区间内.(2)选择求角的三角函数值的方法:若角的取值范围是0,π2,则选正弦函数、余弦函数均可;若角的取值范围是-π2,π2,则选正弦函数;若角的取值范围是(0,π),则选余弦函数.[针对训练]2.已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β.解:tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171-12×-17=13,而α∈(0,π),∴α∈0,π2.∵tanβ=-17,β∈(0,π)∴β∈π2,π,∴-πα-β0.而tan(α-β)=120,∴-πα-β-π2,∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0),∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-β)+tanα1-tan(α-β)tanα=12+131-12×13=1.∴2α-β=-3π4.探究点三条件求值问题[典例精析]3.已知π4α3π4,0βπ4,cosπ4+α=-35,sin(3π4+β)=513.(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值.[解](1)∵π4α3π4,π2π4+απ,∴sinπ4+α=1-cos2π4+α=45.∵0βπ4,3π43π4+βπ,∴cos3π4+β=-1-sin23π4+β=-1213,∴sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sinπ4+α+3π4+β=-[sin(π4+α)cos(3π4+β)+cos(π4+α)·sin3π4+β]=-45×-1213+-35×513=6365.(2)由(1)可知,sinπ4+α=45,cos3π4+β=-1213,∴sinπ4+α-3π4+β=sinπ4+αcos3π4+β-cosπ4+αsin3π4+β=45×-1213--35×513=-3365.又sinπ4+α-3π4+β=sin(α-β)-π2=-cos(α-β),从而cos(α-β)=3365.[类题通法]给值求值的方法(1)直接法:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)常值代换:用某些三角函数代替某些常数,使之代换后能运用相关的公式,我们把这种代换称为常值代换,其中特别要注意的是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=tan45°,1=sin90°等.1,3,33,12,22等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用.(3)角的代换:将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式,像这样的代换方法就是角的代换.常见的有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=12[(α+β)+(α-β)]=12[(α+β)-(β-α)],α+β2=α-β2-α2-β,α+β=(2α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等.[针对训练]3.已知cosα=45,α∈(0,π),tan(α-β)=12,求tanβ及tan(2α-β).解:∵cosα=450,α∈(0,π),∴α∈0,π2,sinα0.∴sinα=1-cos2α=1-452=35,∴tanα=sinαcosα=3545=34.∴tanβ=tan[α-(α-β)]=tanα-tan(α-β)1+tanα·tan(α-β)=34-121+34×12=211,tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tanα+tan(α-β)1-tanα·tan(α-β)=34+121-34×12=2.[课堂归纳领悟]1.本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,难点是公式的运用.2.要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题,见探究点一;(2)解决给值(式)求角问题,见探究点二;(3)解决条件求值问题,见探究点三.3.本节课的易错点是,解决给值(式)求角问题时,易忽视角的范围而造成解题错误.4.本节课要牢记常见角的变换α=(α+β)-β=(α-β)+β=β-(β-α);α=α+π4-π4;α=12[(α+β)+(α-β)];α+β=(2α+β)-α;2α=(α+β)+(α-β)等.

1 / 42
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功