2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习提升课课件 新人教A版选修2-1

章末复习提升课专题一空间向量概念及坐标运算1.空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共线向量定理的推论：若OA→，OB→不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是OP→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3，a－b＝a1－b1，a2－b2，a3－b3，λa＝λa1，λa2，λa3，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要结论．a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；②cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b2a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.[例1](1)给出下列命题：①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；③在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．1【解析】当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定有起点相同，终点也相同，故①错误；要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，要保证两向量为相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与b的模相等，所以这两向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量AC→与A1C1→的方向相同，模也相等，所以AC→＝A1C1→，故③正确；命题④显然正确．【答案】C(2)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A.65B.652C．4D．8解析：|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝49，故sin〈a，b〉＝1－492＝659，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×659＝65.故选A.答案：A方法归纳(1)空间向量的加减运算空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的．(2)空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件①空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的．②利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→.(3)空间向量的数量积①空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|是两个重要公式．②空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如|a|2＝a2，a在b上的投影a·b|b|等.能力挑战1(1)化简：12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝12＋5×23－3a＋12×2－5×12＋3×2b＋－3×12＋5×23－3c＝56a＋92b－76c.答案：56a＋92b－76c(2)若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析：由条件知|a|＝λ2＋5，|b|＝3，a·b＝6－λ.所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝6－λ3λ2＋5＝89.整理得55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255.答案：－2或255专题二利用空间向量证明平行垂直空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.[例2]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.试通过建立空间直角坐标系解决以下问题：(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.【证明】如图所示，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.(1)连接AC，AC交BD于点G，连接EG.设DA＝a，PD＝DC＝b，则A(a,0,0)，P(0,0，b)，E0，b2，b2.因为四边形ABCD是矩形，所以Ga2，b2，0.因为PA→＝(a,0，－b)，EG→＝a2，0，－b2.所以PA→＝2EG→，即PA∥EG.而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB.故PA∥平面EDB.(2)由题意得，B(a，b,0)，PB→＝(a，b，－b)．又DE→＝0，b2，b2，故PB→·DE→＝0＋b22－b22＝0，所以PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.方法归纳利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．(3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直②转化为线面垂直、线线垂直问题.能力挑战2如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1；(2)在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD?(3)在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1?解析：(1)证明：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系C－xyz.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．因为AC→＝(－3,0,0)，BC1→＝(0，－4,4)，所以AC→·BC1→＝0，所以AC→⊥BC1→，即AC⊥BC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD.设AD→＝λAB→＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1.则D(3－3λ，4λ，0)，于是CD→＝(3－3λ，4λ，0)，由于AC1→＝(－3,0,4)，且AC1⊥CD，所以－9＋9λ＝0，解得λ＝1.所以在AB上存在点D使得AC1⊥CD，这时点D与点B重合．(3)假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，设AE→＝tAB→＝(－3t,4t,0)，其中0≤t≤1.则E(3－3t,4t,0)，B1E→＝(3－3t,4t－4，－4)，B1C→＝(0，－4，－4)．又因为AC1→＝mB1E→＋nB1C→成立，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，解得t＝12.所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点.专题三利用空间向量求角空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小．(i)如图①，AB，CD是二面角α­l­β的两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．(ii)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．[例3](山东高考)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，求二面角F­BC­A的余弦值．【解析】(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)．故BC→＝(－23，－23，0)，BF→＝(0，－3，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由m·BC→＝0，m·BF→＝0，可得－23x－23y＝0，－3y＋3z＝0.可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1，33.因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝77，所以二面角F­BC­A的余弦值为77.方法归纳用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－π2或者π2－〈n，a〉．(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角.能力挑战3如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A