2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元质量测评课件 新人教A版选修2-1

第三章单元质量测评2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．31．若平面α外直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1,0,1)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)答案D解析若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.答案解析42．已知A(1,2，－1)，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则BC→＝()A．(－2,0，－2)B．(2,0,2)C．(－1,0，－1)D．(0，－2，－2)答案A解析由题意可知B(1,2,1)，C(－1,2，－1)，∴BC→＝(－2,0，－2)．答案解析53．以下四组向量中，互相平行的组数为()①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)．A．1B．2C．3D．4答案B解析∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－13b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．故选B.答案解析64．已知a＝(1，x,1)，b＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则函数y＝x2＋4x－1的值域是()A．(－∞，3)B．(－∞，－3)C．(－4，＋∞)D．(－∞，－4)答案C解析因a＝(1，x,1)，b＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则a·b0，同时a＝(1，x,1)，b＝(2,1，－1)不共线，即2＋x－10，得x－1，则y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5－4，故选C.答案解析75．已知A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，D(0,0,0)，令a＝CA→，b＝CB→，则a＋b为()A．(5，－9,2)B．(－5,9，－2)C．(5,9，－2)D．(5，－9，－2)答案B解析∵a＝CA→＝(－1,0，－2)，b＝CB→＝(－4,9,0)，∴a＋b＝(－5,9，－2)．答案解析86．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14D．x＝1，y＝－1答案B答案9解析由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴2x＋1＝λ2－x，4＝3λ，4－y＝λ－2y－2，解得λ＝43，x＝12，y＝－4.解析107．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n＝()A．7B．－20C．28D．11答案C解析因为m＝(0,8,3)，n＝(－1,5，－4)，所以m·n＝0＋40－12＝28.答案解析118．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为()A.6B.3C.66D.62答案A答案12解析设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(3，1,0)，P(0,0,2)．∴BP→＝(0，－2，2)，BC→＝(3，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量．则BP→·n＝0，BC→·n＝0，即－2y＋2z＝0，3x－y＝0.解析13令y＝1，则x＝33，z＝1.即n＝33，1，1.易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝331×213＝77.∴tan〈m，n〉＝6.故选A.解析149．已知OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为()A.12，34，13B.12，32，34C.43，43，83D.43，43，73答案C答案15解析∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则QA→＝(1－x，2－x,3－2x)，QB→＝(2－x,1－x,2－2x)．∴QA→·QB→＝6x2－16x＋10，∴当x＝43时，QA→·QB→最小，这时Q43，43，83.解析1610．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.23B.23C.53D.233答案C答案17解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E12，1，0，F0，1，12，D1(0,0,1)．解析18所以AD1→＝(－1,0,1)，AE→＝－12，1，0.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AD1→＝0，n·AE→＝0⇒－x＋z＝0，－x2＋y＝0.∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2,1,2)．而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∵cos〈n，u〉＝23，∴sin〈n，u〉＝53.故选C.解析1911．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C答案20解析如图所示，设|a|＝m(m0)，a＝OP→，PA⊥平面xOy，AB，AC，PD分别为x轴、y轴、z轴的垂线，解析21则在Rt△PBO中，|PB|＝|OP→|sin〈a，i〉＝22m.在Rt△PCO中，|OC|＝|OP→|cos〈a，j〉＝m2，∴|AB|＝m2.在Rt△PAB中，|PA|＝|PB|2－|AB|2＝24m2－m24＝m2，∴|OD|＝m2.在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝|OD||OP|＝12，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.解析2212．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．①B．②C．③D．④答案C答案23解析如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的边长为2，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以AC→＝(0，－1,1)，BD→＝(2,0,0)，AC→·BD→＝0，故AC⊥BD.①正确．解析24又|AC→|＝2，|CD→|＝2，|AD→|＝2，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，OA→为面BCD的一个法向量，cos〈AB→，OA→〉＝AB→·OA→|AB→||OA→|＝－1，－1，0·0，1，02×1＝－12＝－22.解析25因为直线与平面所成的角∈0°，90°，所以AB与平面BCD所成的角为45°.故③错误．又cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝－1，－1，0·1，0，－12×2＝－12.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成的角为60°.故④正确．解析26第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．答案23答案27解析因为AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，所以AC′→2＝|AB→|2＋|AD→|2＋|AA′→|2＋2AB→·AD→＋2AB→·AA′→＋2AD→·AA′→＝1＋4＋9＋2×1×2×cos90°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝23，即|AC′→|＝23.故AC′的长为23.解析2814．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．答案63答案29解析如图，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0，1,1)，易证AC1→是平面A1BD的一个法向量.AC1→＝(－1，1,1)，BC1→＝(－1,0,1)．解析30则cos〈AC1→，BC1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为63.解析3115．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G为BC的中点，K为AF的中点．沿EF将矩形折成120°的二面角A－EF－B，此时KG的长为________．答案3答案32解析如图，过K作KM⊥EF，垂足M为EF的中点，连接MG，KG，则向量MK→与FC→的夹角为120°，〈KM→，FC→〉＝60°.又KG→＝KM→＋MG→＝KM→＋FC→，∴KG→2＝KM→2＋FC→2＋2KM→·FC→＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴|KG→|＝3.解析3316．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为________．答案66a答案34解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，Ma，0，a2，A1(a,0，a)，设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DM→＝0，n·DB→＝0，解析35即ax＋a2z＝0，ax＋ay＝0，令x＝1，则z＝－2，y＝－1，∴n＝(1，－1，－2)．∴A1到平面MBD的距离d＝|DA1→·n||n|＝a6＝66a.解析36三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a与b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．37解a＝AB→＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b＝AC→＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cosθ＝a·b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a与b的夹角θ的余弦值为－1010.(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)·(k＋2)＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或k＝2.答案3818．(本小题满分12分)如图所示，已知几何体ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．(1)化简12AA1→＋BC→＋23AB→，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝14C1B，设MN→＝αAB→＋βAD→＋γAA1→，试求α，β，γ的值．39解(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，则12AA1→＋BC→＋23AB→＝EA1→＋A1D1→＋D1F→＝EF→.答案40(2)MN→＝MB→＋BN→＝12DB→＋34BC1→＝12(DA→＋AB→)＋34(BC→＋CC1→)＝12AB→＋14AD→＋34AA1→，所以α＝12，β＝14，γ＝34.答案4119．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B