2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（第3课时）

第三章空间向量与立体几何第3课时空间向量与空间距离(选学)第三章空间向量与立体几何考点学习目标核心素养点到直线的距离了解点到直线的距离并会用向量方法求解直观想象、数学运算点到平面的距离了解点到平面的距离并会用向量方法求解直观想象、数学运算空间距离的向量求法分类向量求法两点间的距离设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝|AB→|＝AB→·AB→＝__________________________________________点到平面的距离设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝|BA→·n||n|（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2■名师点拨点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB→的长度．()(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．()×√√空间内有三点A(2，1，3)，B(0，2，5)，C(3，7，0)，则点B到AC的中点P的距离为()A.102B．5C.3102D．35答案：C已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则P(3，5，0)到l的距离为()A．5B．14C.145D．45解析：选C.设直线l上一点B(x，y，z)，则AB→＝(x－1，y＋1，z－2)，所以AB→·n＝－3(x－1)＋4(z－2)＝0，所以直线l的方程为3x－4z＋5＝0，所以点P到直线l的距离d＝|3×3＋5|32＋42＋02＝145.答案：C已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．答案：5如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．点到直线的距离【解】因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线A′C的方向向量A′C→＝(1，2，－3)．又BC→＝(0，2，0)，所以BC→在A′C→上的投影长为|BC→·A′C→||A′C→|＝414.所以点B到直线A′C的距离d＝|BC→|2－BC→·A′C→|A′C→|2)＝4－1614＝2357.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长．(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则EF→＝(1，－2，1)，FA→＝(1，0，－2)．|EF→|＝12＋（－2）2＋12＝6，FA→·EF→＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，FA→在EF→上的投影长为|FA→·EF→||EF→|＝16.所以点A到EF的距离d＝|FA→|2－162＝296＝1746.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．点到平面的距离【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E1，12，0，F12，1，0.PE→＝1，12，－1，PF→＝12，1，－1，DP→＝(0，0，1)．设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PE→＝0，n·PF→＝0，即x＋12y－z＝0，12x＋y－z＝0，解得x＝y，令x＝y＝2，得n＝(2，2，3)，因此，点D到平面PEF的距离为|DP→·n||n|＝317＝31717.(2)由(1)知AP→＝(－1，0，1)，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为|AP→·n||n|＝117＝1717.用向量法求点面距的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP→，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝|AP→·n||n|.如图所示，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为43，求正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高．解：设正四棱柱的高为h(h0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，则AB1→＝(1，0，－h)，AD1→＝(0，1，－h)，AC→＝(1，1，0)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB1→＝0，n·AD1→＝0，即x－hz＝0，y－hz＝0，取z＝1，得n＝(h，h，1)，所以点C到平面AB1D1的距离为d＝|n·AC→||n|＝h＋h＋0h2＋h2＋1＝43，解得h＝2.故正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高为2.1．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是()A.66B．63C.36D．33解析：选D.分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝|PA→·n||n|＝33.2．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________．解析：因为PA→＝(－2，0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为|PA→·n||n|＝|－2＋1|2＝22.答案：223．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．解：建系如图，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以AG→＝(0，1，0)，GE→＝(－2，1，1)，GF→＝(－1，－1，2)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则n·GE→＝0，n·GF→＝0，所以－2x＋y＋z＝0，－x－y＋2z＝0，所以x＝z，y＝z，令z＝1，此时n＝(1，1，1)，所以d＝|AG→·n||n|＝13＝33，即点A到平面EFG的距离为33.