2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（第1课时）

第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行、垂直的关系第三章空间向量与立体几何考点学习目标核心素养平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量的概念；会求平面的法向量数学运算空间向量与平行与垂直的关系能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P102～P104，并思考下列问题：1．平面的法向量的定义是什么？2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l⊥α的充要条件分别是什么？1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线_________________的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．平行或共线■名师点拨(1)对直线方向向量的两点说明①方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量PQ→；②方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．(2)对平面法向量的两点说明①平面法向量的选取：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量即可；②平面法向量的不唯一性：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔_________⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔___________⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.a＝λba·u＝0(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔_____________⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．u＝λv3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔___________________．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔___________________________．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔___________________．a1a2＋b1b2＋c1c2＝0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．()(2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．()(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．()√××√若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A．(2，2，6)B．(－1，1，3)C．(3，1，1)D．(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝－2，1，12，则平面β的法向量可以是()A.－1，12，14B．(2，－1，0)C．(1，2，0)D.12，1，2答案：C若直线的方向向量为u1＝2，43，1，平面的法向量为u2＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时z＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝__________．答案：4如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．求直线的方向向量与平面的法向量【解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，3，0)，E0，32，12，B(1，0，0)，C(1，3，0)，于是AE→＝0，32，12，AC→＝(1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则n·AC→＝0，n·AE→＝0，即x＋3y＝0，32y＋12z＝0，所以x＝－3y，z＝－3y，令y＝－1，则x＝z＝3.所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3)．(变问法)本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．解：以A为坐标原点，分别以AB→，AD→，AP→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，3，0)，所以PC→＝(1，3，－1)，即为直线PC的一个方向向量．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．因为D(0，3，0)，所以PD→＝(0，3，－1)．由n·PC→＝0，n·PD→＝0，即x＋3y－z＝0，3y－z＝0，所以x＝0，z＝3y，令y＝1，则z＝3.所以平面PCD的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量AB→，AC→.(3)列方程组：由n·AB→＝0，n·AC→＝0列出方程组．(4)解方程组：n·AB→＝0，n·AC→＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．1．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于()A．－3B．0C．1D．3解析：选B.由题意，得AB→＝(－1，－2－y，z－3)，则－12＝－2－y1＝z－33，解得y＝－32，z＝32，所以y＋z＝0，故选B.2．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求x，y，z满足的关系式．解：(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)．因为AB→＝(2，4，－1)，AC→＝(2，2，1)，所以n·AB→＝2a＋4b－c＝0，n·AC→＝2a＋2b＋c＝0，所以c＝b，a＝－32b，令b＝2，则a＝－3，c＝2.所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)．(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，所以AM→⊥n，所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，所以3x－2y－2z－1＝0.故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE.利用空间向量证明平行关系【证明】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)．FC1→＝(0，2，1)，DA→＝(2，0，0)，AE→＝(0，2，1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，解得x1＝0，z1＝－2y1，令z1＝2，则y1＝－1.所以n1＝(0，－1，2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0.所以FC1→⊥n1.因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(变问法)在本例条件下，求证：平面ADE∥平面B1C1F.证明：由本例证明知C1B1→＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，得n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝0，得x2＝0，z2＝－2y2.令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M(3，0，43)，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，23)．所以MN→＝(－3，2，23)，RS→＝(－3，2，23)，所以MN→＝RS→，所以MN→∥RS→，因为M∉RS，所以MN∥RS.法二：设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则MN→＝MB1→＋B1A1→＋A1N→＝13c－a＋12b，RS→＝RC→＋CD→＋DS→＝12b－a＋13c.所以MN→＝RS→，所以MN→∥RS→.又R∉MN，所以MN∥RS.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：AE⊥CD；(2)求证：PD⊥平面ABE.利用空间向量证明垂直关系【证明】(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，所以PA，PB，PD两两垂直，所以以A为坐标原点，直线AB，AD，PA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，1)．因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形．所以C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y，0)，则CD→＝－12，y－32，0.由AC⊥CD得AC→·CD→＝0，解得y＝233，则D0，233，0，所以CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，所以AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，所以AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)由(1)知AE→＝14，34，12，PD→＝0，233，－1，又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，所以PD→⊥AE→，即PD⊥AE.由(1)知AB→＝(1，0，0)，所以PD→·AB→＝0，所以PD⊥AB.又AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，E(12，12，12)．法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标