2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.3

3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝＝□01|cos〈a，b〉|□02|a·b||a||b|□030，π2课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练角的分类向量求法范围直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝＝□04|cos〈a，n〉|□05|a·n||a||n|□060，π2□07|cos〈n1，n2〉|□08|n1·n2||n1||n2|□09[0，π]课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝□10|AB→□11|BA→·n||n|课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．()答案(1)×(2)√(3)√答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．(2)(教材改编P111A组T11)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．答案(1)45°或135°(2)π2(3)103答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，则OP→＝(1，x－1,2)，BM→＝(－2,0,1)．所以OP→·BM→＝0，所以直线BM与OP所成角为π2.解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1利用空间向量求线线角例1如图1，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O.由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(22，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,22，0)，∴AQ→＝(－22，0，－2)，PB→＝(0,22，－1)．于是cos〈AQ→，PB→〉＝AQ→·PB→|AQ→||PB→|＝39，∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为39.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求向量a、b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a、b用一组基底表示出来，再求有关的量．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系；②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt△VCD中，CD＝2，故有V(0,0，6)．所以AC→＝(－2,0,0)，VD→＝(1,1，－6)．所以cos〈AC→，VD→〉＝AC→·VD→|AC→||VD→|＝－22×22＝－24.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为24.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2利用空间向量求线面角课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练例2正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0,2a)，C1－32a，a2，2a，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练取A1B1的中点M，则M0，a2，2a，连接AM，MC1，有MC1→＝－32a，0，0，AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)．∴MC1→·AB→＝0，MC1→·AA1→＝0，∴MC1→⊥AB→，MC1→⊥AA1→，即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由于AC1→＝－32a，a2，2a，AM→＝0，a2，2a，∴AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝9a24，|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，∴cos〈AC1→，AM→〉＝9a243a×3a2＝32.∴〈AC1→，AM→〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解法探究]此题有没有其他解法？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解与原解建立相同的空间直角坐标系，则AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)，AC1→＝－32a，a2，2a.设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.∴x＝y＝0.故n＝(λ，0,0)．∵AC1→＝－32a，a2，2a，∴cos〈AC1→，n〉＝n·AC1→|n||AC1→|＝－λ2|λ|.∴|cos〈AC1→，n〉|＝12.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]此题中增加条件“E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点”，求B1F与平面GEF所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，a，2a)，E0，a2，0，F0，0，22a，G－34a，a4，2a，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练于是B1F→＝0，－a，－22a，EF→＝0，－a2，22a，EG→＝－34a，－a4，2a.设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·EF→＝0，n·EG→＝0，即－a2y＋22az＝0，－34ax－a4y＋2az＝0，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以y＝2z，x＝6z，令z＝1，得x＝6，y＝2，所以平面GEF的一个法向量为n＝(6，2，1)，所以|cos〈B1F→，n〉|＝|n·B1F→||n||B1F→|＝－2a－22a9×a2＋a22＝33.所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为33.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB→；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n||AB→|.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝AB2－BC22＝5.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练以A为坐标原点，AE→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM→＝(0,2，－4)，PN→＝52，1，－2，AN→＝52，1，2.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·PM→＝0，n·PN→＝0，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练即2y－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN→〉|＝|n·AN→||n||AN→|＝8525，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3利用空间向量求二面角例3如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF→的方向为x轴正方向，|GF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由(1)知∠DFE为二面角D－AF－