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3．1.1空间向量及其加减运算3．1.2空间向量的数乘运算【课标要求】1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程，了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共面向量定理及推论.自主学习基础认识|新知预习|1．空间向量(1)定义：在空间中，具有和的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB→，其模记为|a|或|AB→|.大小方向大小有向线段2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量____0单位向量任意____相反向量相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b任意01相反3.空间向量的加减法和运算律(1)加法：OB→＝OA→＋AB→＝a＋b.(2)减法：CA→＝OA→－OC→＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ0方向λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ0方向λa的模是a的模的倍(3)空间向量的数乘运算律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.相同|λ|相反5．平行(共线)向量(1)位置关系：表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：．(2)特征：方向．(3)特例：零向量与共线．(4)充要条件：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(5)推论：对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP→＝OA→＋ta，向量a为直线l的或在直线l上取向量AB→＝a，则OP→＝OA→＋tAB→.互相平行或重合相同或相反任意向量方向向量6．共面向量(1)定义：平行于同一个的向量．(2)充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb.(3)推论：点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→或对空间任意一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.平面惟一|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()(2)零向量没有方向()(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线()(5)若向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()(6)若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb()√×√×××2．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与AA′→相等的向量有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：与AA′→相等的向量有BB′→，CC′→，DD′→，共3个．答案：A3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量AC1→的共有()①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．答案：D4．已知空间向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2AB→，∴A，B，D三点共线．答案：A5．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a||b|且a，b同向，则ab；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．答案：④课堂探究互动讲练类型一空间向量的有关概念[例1]给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC→＝A1C1→；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有AB→＋AD→＝AC→.其中正确命题的序号是________．【解析】①正确；②正确，因为AC→与A1C1→的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有AB→＋AD→＝AC→.综上可知，正确命题为①②.【答案】①②方法归纳(1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可．(2)要注意零向量的特殊性．对于零向量，应明确：①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的；②零向量与任何向量都共线．(3)对于共线向量应明确：①当a与b共线时，表示a，b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线；②共线(平行)向量不具有传递性，如a∥b，b∥c，那么a∥c就不一定成立，因为b＝0时，虽然有a∥b，b∥c，但a不一定与c共线，若a，b，c都不是零向量，则具有传递性.跟踪训练1给出下列命题：①空间任意两个向量a，b一定是共面的．②a，b为空间两个向量，则|a|＝|b|⇔a＝b.③若a∥b，则a与b所在的直线平行．其中错误命题的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：空间任意两个向量是共面的，①对；②显然错误．若a∥b，则a与b所在的直线平行或重合，③错．故选B.答案：B类型二空间向量的加减和数乘运算[例2]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC的三等分点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设AB→＝a，AD→＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN→.【解析】MN→＝MA→＋AA1→＋A1N→＝－13AC→＋AA1→＋23A1D→＝－13(AB→＋AD→)＋AA1→＋23(AD→－AA1→)＝－13(a＋b)＋c＋23(b－c)＝－13a＋13b＋13c.方法归纳(1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是惟一的，但无论哪一种途径，结果应是惟一的．(2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握.跟踪训练2如图，空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则MN等于()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－23cD.23a＋23b－12c解析：MN→＝MO→＋OC→＋CN→，因为CN→＝12CB→＝12(OB→－OC→)，所以CN→＝12b－12c，则MN→＝－23a＋c＋12b－12c＝－23a＋12b＋12c.故选B.答案：B类型三空间向量共线问题[例3]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝12FC1，判断ME→与NF→是否共线？【解析】由已知可得，ME→＝MD1→＋D1A1→＋A1E→＝12BA→＋CB→＋13A1A→＝－NB→＋CB→＋13C1C→＝CN→＋FC→＝FN→＝－NF→，故ME→与NF→共线.方法归纳(1)判断向量共线的策略①熟记共线向量充要条件：a∥b，b≠0，则存在惟一实数λ使a＝λb；若存在惟一实数λ，使a＝λb，则a∥b.②判断向量共线的关键：找到实数λ.(2)三点共线与直线平行的判断①线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a，b平行，还要证明一直线上有一点不在另一条直线上．②三点共线：证明三点A，B，C共线，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→或AB→＝λAC→即可.跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若M，N分别为AD1，BD的中点，证明MN→与D1C→共线．证明：连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，所以AN→＝12AC→，由已知得AM→＝12AD1→，所以MN→＝AN→－AM→＝12AC→－12AD1→＝12D1C→.所以MN→与D1C→共线．类型四空间向量共面问题[例4]对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问EF→与BC→，AD→是否共面？若共面，请给出证明；不共面，请说明理由．【解析】EF→与BC→，AD→共面，理由如下：在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，由向量加法法则得EF→＝EA→＋AD→＋DF→，EF→＝EB→＋BC→＋CF→，①又E，F分别是AB，CD的中点，故有EA→＝－EB→，DF→＝－CF→，②将②代入①中，再两式相加得2EF→＝AD→＋BC→.所以EF→＝12AD→＋12BC→，即EF→与BC→，AD→共面.方法归纳(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法：①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①MP→＝xMA→＋yMB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；③对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→).跟踪训练4已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解析：(1)共面．因为OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，所以MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以向量MA→，MB→，MC→共面．(2)点M在平面ABC内．由(1)得向量MA→，MB→，MC→共面，三个向量所在的直线又有公共点M.所以M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．|素养提升|1．理解空间向量概念时的两个关注点(1)两向量的关系：空间向量是具有大小与方向的量．两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分．(2)有向线段与向量：向量可用有向线段来表示，但是有向线段不是向量，它只是向量的一种表示方法．2．和空间向量的线性运算相关的结论：(1)位置向量：AB→＝OB→－OA→.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→.(3)若G为△ABC的重心，则AG→＋BG→＋CG→＝0.(4)若O为空间中任意一点，则①点P是线段AB中点的充要条件是OP→＝12(OA→＋OB→)；②若G为△ABC的重心，则OG→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．3．对空间共线向量的两点说明(1)类比理解：空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立．(2)共线的理解：“共线”这个概念具有自反性，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.特别提醒：0与任何向量共线．4．对共面向量的两点说明(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．|巩固提升|1．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A.EB→＋BF→＋EH→＋GH→＝0B.EB→＋FC→＋EH→＋GE→＝0C.EF→＋FG→＋EH→＋GH→＝0D.EF→＋FB→＋CG→＋GH→＝0