2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB→＝3i，AD→＝2j，AA1→＝5k，则向量AC1→在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(1,1,1)B.13，12，15C．(3,2,5)D．(3,2，－5)答案C解析∵AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AB→＋AD→＋AA1→＝3i＋2j＋5k，∴向量AC1→在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．故选C.答案解析32．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且AA1→＝a，AB→＝b，AC→＝c，则A1D→＝()A.12a＋12b＋12cB.12a－12b＋12cC.12a＋12b－12cD．－12a＋12b＋12c答案D答案4解析如图，连接C1D，则A1D→＝A1C1→＋C1D→＝A1C1→＋12(C1B1→＋C1C→)＝A1C1→＋12(A1B1→－A1C1→＋C1C→)＝c＋12(b－c－a)＝－12a＋12b＋12c.解析53.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)答案A解析由题意，OA→＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，所以点A在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．答案解析64．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为()A.52，－1，－12B.52，1，12C．－52，1，－12D.52，1，－12答案A答案7解析由d＝αa＋βb＋γc，得d＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，又d＝e1＋2e2＋3e3，∴α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得α＝52，β＝－1，γ＝－12.解析85．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p⇒/q，而q⇒p，故命题p是命题q的必要不充分条件．答案解析96．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1→，AO2→，AO3→}为基底，AC′→＝xAO1→＋yAO2→＋zAO3→，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝12C．x＝y＝z＝22D．x＝y＝z＝2答案A答案10解析如图，AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→＝12(AB→＋AD→)＋12(AA′→＋AB→)＋12(AD→＋AA′→)＝AO1→＋AO2→＋AO3→，又AC′→＝xAO1→＋yAO2→＋zAO3→，∴x＝y＝z＝1.解析11二、填空题7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.答案1－1解析因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有1＝λx，－1＝λy，1＝λ，解得x＝1，y＝－1.答案解析128．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF→＋λA1D→＝0(λ∈R)，则λ＝________.答案－12答案13解析如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊12A1D，∴EF→＝12A1D→，即EF→－12A1D→＝0，又∵EF→＋λA1D→＝0.∴λ＝－12.解析149．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1的中心，a＝12AA1→，b＝12AB→，c＝13AD→，AE→＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.答案2132答案15解析如图，AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12(AB→＋AD→)＝2a＋b＋32c＝xa＋yb＋zc.所以x＝2，y＝1，z＝32.解析16三、解答题10．如图所示，M，N分别是四面体O－ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量OA→，OB→，OC→表示向量OP→和OQ→.17解OP→＝OM→＋MP→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋23ON→－12OA→＝16OA→＋23×12(OB→＋OC→)＝16OA→＋13OB→＋13OC→；OQ→＝OM→＋MQ→＝12OA→＋13MN→＝12OA→＋13(ON→－OM→)＝12OA→＋13ON→－12OA→＝13OA→＋13×12(OB→＋OC→)＝13OA→＋16OB→＋16OC→.答案18B级：能力提升练1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中的x，y，z的值．(1)BD1→＝xAD→＋yAB→＋zAA1→；(2)AE→＝xAD→＋yAB→＋zAA1→.19解(1)因为BD1→＝BD→＋DD1→＝BA→＋BC→＋DD1→＝－AB→＋AD→＋AA1→，且BD1→＝xAD→＋yAB→＋zAA1→，所以x＝1，y＝－1，z＝1.(2)因为AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12A1C1→＝AA1→＋12(A1B1→＋A1D1→)＝AA1→＋12A1B1→＋12A1D1→＝12AD→＋12AB→＋AA1→，且AE→＝xAD→＋yAB→＋zAA1→，所以x＝12，y＝12，z＝1.答案202．如下图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若EF→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，求x＋y＋z.21解(1)证明：连接AC1，∵AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→＝AB→＋AD→＋13AA1→＋23AA1→＝AB→＋13AA1→＋AD→＋23AA1→＝AB→＋BE→＋AD→＋DF→＝AE→＋AF→，∴A，E，C1，F四点共面．答案22(2)∵EF→＝AF→－AE→＝AD→＋DF→－(AB→＋BE→)＝AD→＋23DD1→－AB→－13BB1→＝－AB→＋AD→＋13AA1→，∴x＝－1，y＝1，z＝13，∴x＋y＋z＝13.答案本课结束