2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空

3.1.3空间向量的数量积运算课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b，记作.□05互相垂直□06a⊥b课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．空间向量的数量积定义叫做a，b的数量积，记作数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝交换律a·b＝运算律分配律a·(b＋c)＝□07已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉□08a·b□09λ(a·b)□10b·a□11a·b＋a·c课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练两个向量数量积的性质：(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔；(2)若a与b同向，则a·b＝；若反向，则a·b＝；特别地：a·a＝|a|2或；(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝；(4)|a·b|.□12a·b＝0□13|a||b|□14－|a||b|□15|a|＝a·a□16a·b|a||b|□17≤|a||b|课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．()(2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.()(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()(4)在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于()A．2BA→·AC→B．2AD→·BD→C．2FG→·CA→D．2EF→·BC→(2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则a·b＝________.(3)已知|a|＝2，|b|＝22，a·b＝－22，则a与b的夹角为________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)B(2)1(3)135°(4)18解析(1)∵AD→与BD→的夹角为60°，|AD→|＝|BD→|＝a，∴2AD→·BD→＝2|AD→||BD→|cos60°＝2×a×a×12＝a2.答案解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1求向量的数量积例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→；(4)BF→·CE→.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12×1×1×cos60°＝14.(2)EF→·BD→＝12|BD→||BD→|cos〈BD→，BD→〉＝12×1×1×cos0°＝12.(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→||DC→|cos〈BD→，DC→〉＝12×1×1×cos120°＝－14.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)BF→·CE→＝12(BD→＋BA→)·12(CB→＋CA→)＝14[BD→·(－BC→)＋BA→·(－BC→)＋BD→·CA→＋BA→·CA→]＝14[－BD→·BC→－BA→·BC→＋(CD→－CB→)·CA→＋AB→·AC→]＝14×－12－12＋12－12＋12＝－18.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积：(1)BD→·AA1→；(2)AE→·AC→；(3)EO→·AC→.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝1，|b|＝2，(1)∵BD→＝AD→－AB→＝b－a，∴BD→·AA1→＝(b－a)·c＝b·c－a·c.又a，b，c两两互相垂直，∴b·c＝0，a·c＝0，故BD→·AA1→＝0.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)∵AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12AD→＝c＋12b，又AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，∴AE→·AC→＝c＋12b·(a＋b)＝12|b|2＝2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)∵EO→＝AO→－AE→＝12(AB→＋AD→)－(AA1→＋A1E→)＝12(a＋b)－c＋12b＝12a－c，又AC→＝a＋b，∴EO→·AC→＝12a－c·(a＋b)＝12a2＝12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2利用数量积求夹角例2已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]如下图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12，所以cos〈OE→，BF→〉＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－23.所以异面直线OE与BF所成角的余弦值是23.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升由数量积求角的方法策略(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是求两个向量夹角的平移法．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．答案66答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析下图所示，解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练设该三棱柱的底面边长为1，依题意有AB1→＝AB→＋AA1→，BC1→＝BA→＋AA1→＋A1C1→＝AC→＋AA1→－AB→，则|AB1→|2＝(AB→＋AA1→)2＝AB→2＋2AB→·AA1→＋AA1→2＝2＋2cos60°＝3，|BC1→|2＝(AC→＋AA1→－AB→)2＝AC→2＋AA1→2＋AB→2＋2AC→·AA1→－2AC→·AB→－2AA1→·AB→＝2，而AB1→·BC1→＝(AB→＋AA1→)·(AC→＋AA1→－AB→)＝AB→·AC→＋AB→·AA1→－AB→·AB→＋AA1→·AC→＋AA1→·AA1→－AA1→·AB→＝12＋12－1＋12＋1－12＝1，所以cos〈AB1→，BC1→〉＝AB1→·BC1→|AB1→||BC1→|＝13×2＝66.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为66.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3利用向量数量积求距离例3已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解]下图，由AC⊥α，知AC⊥AB.过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练则∠DBD′＝30°，〈CA→，BD→〉＝120°，所以|CD→|2＝CD→·CD→＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2AB→·BD→＝b2＋a2＋b2＋2b2cos120°＝a2＋b2，故CD＝a2＋b2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．(2)应牢记并能熟练地应用公式|a＋b＋c|＝a＋b＋c2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·c＋2a·b＋2b·c.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝12|ND|，求|MN|.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解如下图所示，|AB→|＝|AC→|＝|AD→|＝a，把题中所用到的量都用向量AB→，AC→，AD→表示，于是MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝23AB→＋(AC→－AB→)＋13(AD→－AC→)＝－13AB→＋13AD→＋23AC→.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练又AD→·AB→＝AB→·AC→＝AC→·AD→＝a·a·cos60°＝12a2，∴MN→·MN→＝－13AB→＋13AD→＋23AC→·－13AB→＋13AD→＋23AC→＝19AB→2－29AD→·AB→－49AB→·AC→＋49AC→·AD→＋19AD→2＋49AC→2＝19a2－19a2＋19a2＋49a2＝59a2.故|MN→|＝MN→·MN→＝53a，即|MN|＝53a.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究4判断或证明垂直问题例4下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[证明]设正方体的棱长为a，∵A1G→·DF→＝(A1A→＋AD→＋DG→)·(DC→＋CF→)＝A1A→·DC→＋AD→·DC→＋DG→·DC→＋A1A→·CF→＋AD→·CF→＋DG→·CF→＝DG→·DC→＋AD→·CF→＝12a2－12a2＝0，∴A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE，又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面DEF.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与