2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1→＋AD→＋AB→)2＝3AB→2；②A1C→·(A1B1→－A1A→)＝0；③AD→1与A1B→的夹角为60°.其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．0个答案B答案3解析如图所示，(AA1→＋AD→＋AB→)2＝(AA1→＋A1D1→＋D1C1→)2＝AC1→2＝3AB→2；A1C→·(A1B1→－A1A→)＝A1C→·AB1→＝0；AD1→与A1B→的夹角是D1C→与D1A→夹角的补角，而D1C→与D1A→的夹角为60°，故AD1→与A1B→的夹角为120°.综上可知，①②正确，③不正确．故选B.解析42．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈A′B→，B′D′→〉＝()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈A′B→，BD→〉＝120°，即〈A′B→，B′D′→〉＝120°.答案解析53．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(BO→＋OC→)·(OC→－OA→)＝0，则△ABC一定是()A．等边三角形B．斜三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案C解析∵BO→＋OC→＝BC→，OC→－OA→＝AC→，∴BC→·AC→＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形．答案解析64．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()A.AE→·BC→＜AE→·CD→B.AE→·BC→＝AE→·CD→C.AE→·BC→＞AE→·CD→D.AE→·BC→与AE→·CD→不能比较大小答案C答案7解析易知AE⊥BC，∴AE→·BC→＝0，AE→·CD→＝(AB→＋BE→)·CD→＝AB→·(BD→－BC→)＋12BC→·CD→＝|AB→|·|BD→|cos120°－|AB→||BC→|cos120°＋12|BC→||CD→|·cos120°＜0.∴AE→·BC→＞AE→·CD→.解析85．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C答案9解析AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝AC→·CD→＋CD→2＋DB→·CD→＝0＋12＋0＝1，又|AB→|＝2，|CD→|＝1.∴cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.解析106．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()A．2B.3C.5D.7答案C答案11解析如图所示，设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.解析12因为EF→＝EA→＋AA1→＋A1F→＝－12AB→＋AA1→＋12AC→＝－12a＋12b＋c，所以|EF→|2＝14a2＋14b2＋c2＋2－12a·12b＋12b·c－12a·c＝14×22＋14×22＋22＋2×－14×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝5.解析13二、填空题7．已知空间向量a，b，|a|＝32，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．答案－310解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×32×5×cos135°＝0，∴λ＝－310.答案解析148．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋422＝－13.答案解析159．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b||a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________．答案②④解析①由向量数乘与数量积的区别，易知不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积运算可知成立．答案解析16三、解答题10．如图所示，在平面角为120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．17解∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA→·AB→＝0，BD→·AB→＝0.∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈CA→，BD→〉＝180°－120°＝60°.∴|CD→|2＝CD→2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝CA→2＋AB→2＋BD→2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2BD→·AB→＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.答案18B级：能力提升练如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求证：CC1⊥BD；(2)当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．19解(1)证明：设CD→＝a，CB→＝b，CC1→＝c.由题意得|a|＝|b|，BD→＝CD→－CB→＝a－b.CD→，CB→，CC1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC1→·BD→＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ＝0，∴CC1⊥BD.答案20(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.由CA1→·C1D→＝(CA→＋AA1→)·(CD→－CC1→)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－c2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cosθ－|b||c|cosθ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|·cosθ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.而由(1)知CC1⊥BD，又显然BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD.综上可得，当CDCC1＝1时，A1C⊥平面C1BD.答案本课结束