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课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有()①平面内的任意两个向量都共线；②若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)；③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；④空间中的任意三个向量都共面．A．1个B．2个C．3个D．4个答案A答案3解析①显然不正确．②不正确，由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb.③正确，a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p＝xa＋yb的三个向量共面．解析42．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则()A．P∈直线ABB．P∉直线ABC．点P可能在直线AB上D．以上都不对答案A解析因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP→＝(1－n)OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→－OA→)，即AP→＝nAB→，所以AP→与AB→共线．又AP→，AB→有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.答案解析53．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()A．m，n，p共线B．m与p共线C．n与p共线D．m，n，p共面答案D解析由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝12m＋12n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．答案解析64.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()7A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c答案A解析B1M→＝B1B→＋BM→＝A1A→＋12(BA→＋BC→)＝c＋12(－a＋b)＝－12a＋12b＋c.答案解析85．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量OP→的为()9A.OA→＋2AB→＋2AC→B.OA→－3AB→－2AC→C.OA→＋3AB→－2AC→D.OA→＋2AB→－3AC→答案C解析连接AP，∵A，B，C，P四点共面，∴可设AP→＝xAB→＋yAC→，即OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，由题图可知x＝3，y＝－2.答案解析106．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A→，D1C→，A1C1→是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量答案C答案11解析如图所示，因为D1C→－D1A→＝AC→，而AC→＝A1C1→，所以D1C→－D1A→＝A1C1→，即D1C→＝D1A→＋A1C1→.而D1A→与A1C1→不共线，所以D1C→，D1A→，A1C1→三向量共面．解析12二、填空题7．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝12i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.答案－13i＋2j＋7k解析4a－3b＝412i－j＋k－3(5i－2j－k)＝2i－4j＋4k－15i＋6j＋3k＝－13i＋2j＋7k.答案解析138．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.答案23解析CD→＝CB→－DB→＝CB→－13AB→＝CB→－13(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→，又CD→＝13CA→＋λCB→，所以λ＝23.答案解析14三、解答题9．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简AG→＋13BE→－12AC→，并在图中标出化简结果的向量．15解∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE→＝13BE→.又12AC→＝12(DC→－DA→)＝12DC→－12DA→＝DE→－DF→＝FE→，∴AG→＋13BE→－12AC→＝AG→＋GE→－FE→＝AF→(如图所示)．答案16B级：能力提升练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．17证明∵M是PD的中点，∴PM→＝MD→.又∵PB→＝PM→＋MA→＋AB→＝PM→＋MA→＋AC→＋CB→＝PM→＋MA→＋AC→＋DA→＝PM→＋MA→＋AC→＋MA→－MD→.∴PB→＝2MA→＋AC→.∴PB→，MA→，AC→共面．又∵PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.答案本课结束