2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用章末复习课件 新人教A版必修1

第三章函数的应用章末复习1知识系统整合2规律方法收藏1．方程的根与函数的零点方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点判断法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：由f(a)·f(b)0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点．当f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．3．二分法只能求出其中某一个零点近似值，另外应注意初始区间的选择．4．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养将实际问题数学化的意识和能力．3学科思想培优一、函数零点与方程的根根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．[典例1]试讨论函数f(x)＝x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个数．解设g(x)＝x2－2|x|，h(x)＝a＋1，则g(x)＝x2－2x，x≥0，x2＋2x，x0.g(x)，h(x)的图象如图所示，g(－2)＝g(0)＝g(2)＝0，g(－1)＝g(1)＝－1，当a＋1－1，即a－2时，g(x)与h(x)无交点；当a＋1＝－1或a＋10，即a＝－2或a－1时，g(x)与h(x)有两个交点；当－1a＋10，即－2a－1时，g(x)与h(x)有四个交点；当a＋1＝0，即a＝－1时，g(x)与h(x)有三个交点．所以，当a－2时，函数f(x)＝x2－2|x|－a－1无零点；当a＝－2或a－1时，函数f(x)有两个零点；当－2a－1时，函数f(x)有四个零点；当a＝－1时，函数f(x)有三个零点．二、函数模型及其应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．[典例2]我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈0，12，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝18时的市场供应量曲线如图所示．(1)根据图象求b，k的值；(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－x2，当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．解(1)由图象知即1－k85－b2＝0，1－k87－b2＝1，解得b＝5，k＝6.(2)当P＝Q时，2(1－6t)(x－5)2＝211－x2，即(1－6t)(x－5)2＝11－12x，2(1－6t)＝22－xx－52＝17x－52－1x－5.令m＝1x－5，∵x≥9，∴m∈0，14.而2(1－6t)＝17m2－m＝17m－1342－168.当m＝14时，2(1－6t)取最大值，为1316，故t≥19192，即税率的最小值为19192.三、数学思想方法数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要地位．1．数形结合思想本章中方程的根或函数的零点问题，可转化为函数图象的交点问题，从而达到化难为易的目的．[典例3]关于x的方程x＋lgx＝3，x＋10x＝3的根分别为α，β，则α＋β等于()A．6B．5C．4D．3解析将方程变形为lgx＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lgx，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lgx，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．这样方程lgx＝3－x的根可以看成函数y1＝lgx和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x＝3－x的根可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lgx和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lgx和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.2．分类讨论思想涉及函数y＝ax2＋bx＋c的问题，因为没有指明这是二次函数，所以应该按照a＝0和a≠0进行分类讨论．[典例4]若函数f(x)＝mx2－x－2只有一个零点，试求实数m的取值范围．解所给的函数含有参数m，因此f(x)不一定是二次函数，应该对二次项系数是否为零进行讨论．若m＝0，则f(x)＝－x－2，显然f(x)只有一个零点－2.若m≠0，则f(x)＝mx2－x－2是二次函数，若它只有一个零点，即方程mx2－x－2＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝1＋8m＝0，解得m＝－18.综上，可知当m＝0或m＝－18时，函数f(x)只有一个零点．3．转化与化归思想转化与化归思想在本章中的重要应用就是将含指数型、对数型函数的零点问题转化为二次函数等熟悉的函数的零点问题，从而达到化难为易的目的．[典例5]若函数f(x)＝9x＋a·3x＋a＋1有零点，求实数a的取值范围．解∵函数f(x)有零点，∴方程9x＋a·3x＋a＋1＝0有实数解．令3x＝t(t0)，则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0，(※)该方程在(0，＋∞)上有实数解．①当方程(※)的解都在(0，＋∞)上时，设方程(※)的两根为t1，t2，则Δ＝a2－4a＋1≥0，t1＋t2＝－a0，t1·t2＝a＋10.解得a≤2－22或a≥2＋22，a0，a－1，所以－1a≤2－22；②当方程(※)的解一个在(0，＋∞)上，另一个在(－∞，0]上时，令g(t)＝t2＋at＋a＋1，则g0＝0，－a20或g(0)0，解得a≤－1.综合①②知，函数f(x)有零点时，实数a的取值范围是a≤2－22.4．函数与方程思想通过对函数零点的学习，我们知道函数的某一种状态就是方程，因此方程的问题可以利用函数的性质来解决，而函数的许多问题也可以利用方程来解决．函数问题和方程问题可以互相转化，这是函数与方程思想的由来．[典例6]设x1，x2分别是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的非零实根，且x1≠x2.求证：方程a2x2＋bx＋c＝0恰有一根在x1与x2之间．证明因为x1，x2分别为方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的非零实根，所以ax21＋bx1＋c＝0，－ax22＋bx2＋c＝0，即bx1＋c＝－ax21，bx2＋c＝ax22.设f(x)＝a2x2＋bx＋c，则f(x1)·f(x2)＝a2x21＋bx1＋ca2x22＋bx2＋c＝a2x21－ax21a2x22＋ax22＝－34a2x21x220，所以方程a2x2＋bx＋c＝0恰有一根在x1与x2之间．