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章末总结归纳人们在生活中常遇到一些随机现象，概率就是研究随机现象规律的科学．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝mn求出概率．常借助列表法、树状图求基本事件．5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽取1张，然后由乙抽取1张，求：(1)甲中奖的概率P(A)；(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；(3)只有乙中奖的概率P(C)；(4)乙中奖的概率P(D)．【解】将5张奖券编号为1,2,3,4,5，其中4,5为中奖奖券，用(x，y)表示甲抽到号码x，乙抽到号码y，则所有可能的结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种．(1)甲中奖包含8个基本事件，∴P(A)＝820＝25.(2)甲、乙都中奖包含2个基本事件，∴P(B)＝220＝110.(3)只有乙中奖包含6个基本事件，∴P(C)＝620＝310.(4)乙中奖包含8个基本事件，∴P(D)＝820＝25.1.求互斥事件或对立事件的概率，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【解】(1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)解法一：由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′.且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.∴任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.解法二：设能给小明输血的事件为M，则P(M)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情况，且每种结果的出现是等可能的，试验的结果发生在一个确定的区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子区域与总区域的比例，依这种比例求解，类似古典概型的思路，即事件A的概率由“构成事件A的基本事件所占的图形面积(长度、体积)”与“试验的全部结果所占的总面积(长度、体积)”之比来表示．街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，小圆板若压在塑料板的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，必须再交5角钱可再玩一次；若压到塑料板的顶点上，可获得一元钱．(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？【解】(1)如下图(1)所示，因为小圆板中心O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板压在正方形ABCD的边上是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交．设事件A为“小圆板压在塑料板的边上”，则概率P(A)＝9×9－7×79×9＝3281.(2)小圆板压在正方形的顶点是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图(2)所示的阴影部分．设事件B为“小圆板压在塑料板顶点上”，则概率P(B)＝π×129×9＝π81.1．某游人上山游玩，从前山上山的道路有3条，从后山下山的道路有2条，其中有一条路最近，若该游人从上山到下山随意选择道路，那么所走路程最短的概率为()A．15B．16C．19D．18解析：上山的3条道路记作A1，A2，A3，下山的2条道路记作B1，B2，则可能的走法有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6种，且每一种走法发生的可能性是相同的，而其中只有一条路最近，所以游人所走路程最短的概率为16.答案：B2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．710B．58C．38D．310解析：因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.答案：B3．已知实数x∈[0,8]，执行如图所示的算法框图，则输出的x不小于55的概率是()A．14B．12C．34D．45解析：由算法框图知，n＝1时，x＝2x＋1；n＝2时，x＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3；n＝3时，x＝2(4x＋3)＋1＝8x＋7.n＝4时，输出8x＋7.由题意得8x＋7≥55，∴x≥6.又∵x∈[0,8]，∴P＝8－68－0＝14.答案：A4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自选1种，所有情况有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，颜色相同的情况有3种，∴所求概率为P＝39＝13.答案：135．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.