2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型课件 新人教A版必修3

3．3几何概型3．3.1几何概型第三章概率考点学习目标核心素养区分古典概型和几何概型通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型数学抽象、直观想象几何概型的概率计算公式掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率逻辑推理、数学运算第三章概率问题导学(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？(3)几何概型有几种模型？1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的___________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有______________；②每个结果发生的可能性_______．长度(面积或体积)无限多个相等2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝_______________________________________________．3．几何概型的常见类型(1)长度型．(2)角度型．(3)面积型．(4)体积型．构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）4．求解几何概型的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事件的无限性及等可能性)．(2)把所有的基本事件转化为与之相对应的区域D.(3)把所求的随机事件A转化为与之相对应的区域d.(4)利用几何概型的概率计算公式求解．■名师点拨辨析古典概型与几何概型(1)相同点古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．(2)不同点①古典概型要求随机试验的基本事件的个数必须是有限的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关；②在古典概型中，概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中，概率为0的事件可能发生，概率为1的事件也可能不发生．例如在一个圆面内任取一点，取到圆心的概率等于0，但我们仍有可能在圆内取到圆心．也就是说，“单点事件”是不影响几何概型概率的计算的，因而在计算几何概型的概率时，线段的端点、区域的边界是否包含在所求事件之内，都不会影响最终的计算结果．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个．()(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．()(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．()(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等．()(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1cm的概率．A．1B．2C．3D．4解析：选C.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为()A.23B.13C.16D.14解析：选B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为P＝2－13＝13.(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值(用分数表示)为________．解析：令正方形内切圆的半径为r，则正方形边长为2r，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为1000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得7801000＝πr24r2，化简得π＝7825.答案：7825(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34与长度有关的几何概型(2)(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)在区间[－1，2]内任取一个数a，则点(5，a)位于x轴下方的概率为()A.23B.12C.13D.16【解析】(1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)在区间[－1，2]内任取一个数a，则点(5，a)位于x轴下方，可得a∈[－1，0)．由几何概型可得P＝0－（－1）2－（－1）＝13.故选C.【答案】(1)B(2)C求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段．(2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．(3)利用几何概型概率的计算公式P＝dD计算．某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，若物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为()A．80米B．100米C．40米D．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x＝100米，故选B.(1)(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)已知x，y是0～1之间的两个均匀随机数，则“x，y，1能构成钝角三角形的三边”的概率为()A.π－24B.4－π4C.4－π3D.π－23与面积有关的几何概型(2)(2019·河北省枣强中学期末考试)设一直角三角形两直角边均是区间(0，1)上的随机数，则斜边长小于1的概率为()A.12B.34C.π4D.3π16【解析】(1)已知x，y是0～1之间的两个均匀随机数，则x，y均小于1，又x，y，1能构成钝角三角形的三边，结合余弦定理则x2＋y2－10，又由三角形三边关系得x＋y1，如图：则满足条件的区域面积为π4－12×1×1＝π－24，则满足题意的概率为π－241＝π－24.故选A.(2)设直角边长分别为x，y，则x∈(0，1)，y∈(0，1)，建立直角坐标系，(x，y)对应的点在边长为1的正方形内部，如图：由斜边长小于1得x2＋y21，即x2＋y21.所以满足斜边长小于1的点(x，y)在图中14的圆内部．所以斜边长小于1的概率为P＝π41＝π4.故选C.【答案】(1)A(2)C与面积有关的几何概型的求解思路解决此类几何概型问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积，从而求得随机事件的概率．(2019·四川省绵阳市教学质量测试)已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＋3y＝m，若r，m是在区间(0，2]上任意的两个数，那么圆C与直线l有公共点的概率为()A.14B.12C.38D.34解析：选D.因为圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＋3y＝m有公共点，所以|m|1＋3r.又m0，所以m2r，因为r，m是在区间(0，2]上任意的两个数，所以建立平面直角坐标系，如图：该问题可转化为与面积有关的几何概型的问题，概率即为阴影部分面积与正方形面积之比，即P＝2×2－12×1×22×2＝34.故选D.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.4π81B.81－4π81C.127D.827与体积有关的几何概型【解析】满足题意的点所在区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.【答案】C若本例条件不变，求这个蜜蜂飞到与正方体某一顶点A的距离小于13的概率．解：到点A的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的点的区域体积为43π×133×18.所以P＝43π×133×1833＝π2×37.与体积有关的几何概型的求解思路用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，并确定出所有基本事件构成的区域的体积，利用公式P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积求解即可．(2019·江西省临川第一中学期末考试)已知三棱锥S－ABC，在该三棱锥内取一点P，使VP­ABC≤13VS­ABC的概率为()A.23B.49C.827D.1927解析：选D.作出S在底面△ABC的射影为O，若VP­ABC＝13VS­ABC，则高OP＝13SO，即此时P在三棱锥VS­ABC的面DEF上，则VP­ABC13VS­ABC的点P位于在三棱锥VS­ABC的面DEF以下的棱台内，则对应的概率P＝1－233＝1927.故选D.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，求射线AP与线段BC有公共点的概率．与角度有关的几何概型【解】因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能基本事件对应的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，对应区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率P＝∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.与角度有关的几何概型的求解思路当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.切不可用线段长度代替角度作为区域度量．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．解析：作射线OD和OE，使得∠AOD和∠BOE都等于30°.要使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，则射线OC位于射线OD和OE之间，故所求概率为P＝90°－30°－30°90°＝13.答案：131．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为()A.13B.12C.14D.23解析：选D.由|x|≤1，得－1≤x≤1，所以|x|≤1的概率为P(|x|≤1)＝23.2．(2019·湖北省荆州中学期末考试)ABCD为长方形，AB＝3，BC＝2，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析：由题意，如图所示，可得长方形的面积为S＝3×2＝6，以O点为圆心，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为S1＝12πr2＝π2，所以取到的点到O的距离大于1表示圆的外部在矩形内部的部分，所以概率为P＝S－S1S＝6－π26＝1－π12.答案：1－π123．在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．解析：如图，在AB上取AC′＝AC，连接CC′，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设E＝{在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC}，则所有可能结果的区域角度为90°，事件E的区域角度为67.5°，所以P(E)＝67.5°90°＝34.答案：344．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，