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3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生新知导学·素养养成1.几何概型(1)定义如果每个事件发生的概率只与成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;②每个基本事件出现的可能性相等.(3)几何概型的概率公式P(A)=.构成该事件区域的长度(面积或体积)A()()构成事件的域度面或体的全部果所构成的域度面或体区长积积试验结区长积积(4)解决几何概型概率问题的一般步骤①选择适当的观察角度(长度、面积、体积等注意观察角度的等可能性);等可能的②把基本事件转化为与之对应的区域D;③把所求随机事件A转化为与之对应的区域I;④利用概率公式计算.思考1:几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗?答案:几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关,而与构成事件的区域形状无关.思考2:几何概型与古典概型有哪些区别与联系?答案:区别:几何概型中试验的基本事件个数是无限的,而古典概型中试验的基本事件个数是有限的.联系:两者都是在等可能的前提下,利用“比例法”求概率.2.均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a,b]上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是,则称这些实数为均匀随机数.课堂探究·素养提升题型一与长度、角度有关的几何概型[例1](1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()(A)13(B)12(C)23(D)34解析:(1)如图,7:50至8:30之间的时间长度为40分钟,而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7:50至8:00之间或8:20至8:30之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为20分钟,由几何概型概率公式知所求概率为P=2040=12.故选B.答案:(1)B(2)已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,在∠CAB内任作射线AN,则使∠CAN30°的概率为.解析:(2)如图,在∠CAB内任作射线AN时,射线AN在∠CAB内是均匀等可能的,所以P(∠CAN30°)=3045=23.答案:(2)23方法技巧求解与长度、角度有关的几何概型的关键点在求解与长度、角度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结果构成的区域D,这时区域D可能是一条(或几条)线段或角度,然后找到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到不会影响事件A的概率.即时训练1-1:(1)在区间[-2,3]上随机选取一个数x,则x≤1的概率为()(A)45(B)35(C)25(D)15解析:(1)在区间[-2,3]上随机选取一个数x,则x≤1,即-2≤x≤1的概率为P=35.故选B.(2)已知△ABC中,C=90°,AB=2AC,在斜边AB上任取一点P,则满足∠ACP≤30°的概率为()(A)12(B)13(C)14(D)15解析:(2)设AC=a,因为△ABC中,∠ACB=90°,AB=2AC,所以AB=2a,作CD⊥AB于D,则∠ACD=30°,AD=2a,当点P在线段AD上时,满足∠ACP≤30°,由几何概型概率公式可得,满足∠ACP≤30°的概率为22aa=14,故选C.[备用例1]在区间[-2,4]上随机取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为56,则m=.解析:由|x|≤m,得-m≤x≤m,当m≤2时,由题意得26m=56,解得m=2.5,矛盾,舍去.当2m4时,由题意得26m=56,解得m=3.答案:3题型二与面积有关的几何概型[例2]已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),求当x,y∈R时,点P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.解:如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).所以所求的概率P=21π2444=π16.方法技巧解此类几何概型问题的关键(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题;(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概率.即时训练2-1:在如图所示的正方形中随机撒入1000粒芝麻,则撒入圆内的芝麻数大约为粒(结果保留整数).答案:785解析:设正方形边长为2a,则S正=4a2,S圆=πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P=22π4aa=π4,所以撒入圆内的芝麻数大约有1000×π4≈785(粒).题型三与体积有关的几何概型[例3](12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点M.(1)求点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率;规范解答:(1)棱长为a的正方体的体积V=a3.由正方体的性质可知111BABCV=16a3.…………………………………………2分所以点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为P=111BABCVV=16.………………………………………………………………4分(2)求点M到平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于3a的概率;(3)求使四棱锥M-ABCD的体积小于16a3的概率.规范解答:(2)因为平面ABCD与平面A1B1C1D1间的距离为a,所以点M到平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于3a的概率为13.………8分(3)设点M到平面ABCD的距离为h,由题意,得13a2h16a3,所以h2a.…………………………………………10分所以使四棱锥M-ABCD的体积小于16a3的概率为12.………………………12分方法技巧与体积有关的几何概型问题,关键在于确定满足条件的点构成的几何体,所求概率为对应图形的体积之比.解析:由PABCV12SABCV知,点P在三棱锥S-ABC的中截面A0B0C0的下方,P=1-000SABCSABCVV=1-18=78.即时训练3-1:已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得PABCV12SABCV的概率是.答案:78解:记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,则事件A的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型的条件.因为小水杯中有0.1升水,原瓶中有2升水,所以由几何概型求概率的公式得P(A)=0.12=0.05.[备用例2]如图所示,有一瓶2升的水,其中含有1个细菌.用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.题型四均匀随机数求阴影面积[例4]利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形)的面积.解:如图所示,作矩形,设事件A表示“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND;然后进行伸缩变换a=3a1;若共产生了n个样本点(a,b),其中落在阴影内的样本点数为m.用事件A发生的频率mn作为事件A的概率的近似值.设阴影部分的面积为S,矩形的面积为3.由几何概型计算公式得P(A)=3S.所以mn=3S.所以S=3mn即为阴影部分面积的近似值.方法技巧根据几何概型计算概率的公式,概率等于面积之比,概率可用频率近似得到.在不规则图形外套上一个规则图形,则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘以概率.概率可以通过模拟的方法得到,从而得到不规则图形面积的近似值.课堂达标1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17a20的概率是()C(A)13(B)12(C)310(D)510解析:因为a∈(15,25],所以P(17a20)=20172515=310.选C.2.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()B(A)π2(B)π4(C)π6(D)π8解析:由几何概型的概率公式可知,质点落在以AB为直径的半圆内的概率P=半的面方形的面圆积长积=21π1212=π4,故选B.3.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为()C(A)15(B)25(C)35(D)45解析:等待的时间是0到5之间的一个实数,而且每个实数出现的概率都是一样的,所以等待时间不超过3分钟的概率,也就是从0到5之间任取一个实数,它小于等于3的概率为35.选C.解析:如图,在等腰直角三角形AOB的直角边OA,OB上分别取中点C,D,则OC=1,OD=1,则事件“点到此三角形的直角顶点的距离不大于1”的概率为P=RtCODAOBSS扇形=1π41222=π8.4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为.答案:π8