2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 几

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.116B.18C.14D.12解析正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm与9cm之间，线段AB的长度为12cm，故所求概率为9－612＝14.2．某人向图中的靶子上射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，则最容易射中阴影区域的是()解析由题意，设图中每个等边三角形的面积为1，则正六边形的面积为6.选项A：阴影面积为2，射中阴影区域的概率为13；选项B：阴影面积为3，射中阴影区域的概率为12；选项C：阴影面积为2，射中阴影区域的概率为13；选项D：阴影面积为2.5，射中阴影区域的概率为512.因为1251213，所以最容易射中阴影区域的是选项B.故选B.3．在我国古代数学著作《九章算术》勾股章有一《池葭出水》的趣题(如图所示)：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的顶端正好与水面一样平，问水有多深？该植物有多长？(“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈＝10尺，1米＝3尺)．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水下的概率是()A.910B.1213C.1314D.1415解析设水深为x尺，则(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12，即水深12尺，芦苇长13尺，则所求概率P＝1213.4．分别在区间[1,6]，[1,4]内各任取一个实数，依次记为m，n，则mn的概率是()A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8解析画出图形(如图所示)，m，n所满足的区域为矩形ABCD，而mn所满足的区域为梯形ABCE，所以mn的概率P＝S梯形ABCES矩形ABCD＝15－9215＝0.7.故选C.5．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12x＋12≤1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14解析由－1≤log12x＋12≤1得log122≤log12x＋12≤log1212，所以12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，故事件“－1≤log12x＋12≤1”发生的概率为322＝34.二、填空题6．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为________．π12解析由已知得到三角形为直角三角形，三角形ABC的面积为12×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为1的半圆面积S＝12π×12＝π2，所以其恰在离三个顶点距离不超过1的概率为P＝π26＝π12.7．记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．59解析由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为3－－25－－4＝59.8．“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间(假定她们在这一时间段内任一时刻等可能地到达)在歌乐山健身步道起点处会合，若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟．若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟．若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则，她们均不再等候对方而独自去爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是________(用数字作答)．4772解析由题意知本题是一个几何概型．设“小花”和“丁香”到达的时间分别为(8＋x)时和(8＋y)时，则0≤x≤12，0≤y≤12，若两人见面，则0≤x－y≤1560＝14，或者0≤y－x≤1060＝16，如图，正方形的面积为14，落在两直线之间部分的面积为14－118－132，所以“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是14－118－13214＝4772.故答案为4772.三、解答题9．在转盘游戏中，假设有红、绿、蓝三种颜色．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问：若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解因为赢的概率为15.所以红色所占角度为周角的15，即α1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即α2＝360°3＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.B级：能力提升练10．如图所示，在地上画一个正方形方框，其边长等于一枚硬币直径的2倍，向方框中投硬币，硬币完全落在正方形外的情况不计，求硬币完全落在正方形内的概率．解如图所示，设正方形ABCD的边长为4a，硬币的半径r＝a，则正方形O1O2O3O4的面积为4a2，曲边多边形EFGHIJKL的面积为16a2＋4×(4a×r)＋4×14πr2＝32a2＋πa2.记“硬币完全落入正方形内”为事件A，则硬币完全落入正方形内的概率应等于正方形O1O2O3O4的面积与曲边多边形EFGHIJKL的面积比，即P(A)＝4a232a2＋πa2＝432＋π.