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3．2古典概型3．2.1古典概型第三章概率考点学习目标核心素养基本事件了解基本事件的特点数学抽象古典概型的定义理解古典概型的定义数学抽象古典概型的概率公式会应用古典概型的概率公式解决实际问题数学运算、数学建模第三章概率问题导学(1)什么叫基本事件？它有什么特点？(2)什么叫古典概率模型？它有什么特点？1．基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．(2)特点：一是任何两个基本事件是_______的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的_______．互斥和2．古典概型(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有_______个；②每个基本事件出现的可能性_______．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，事件A的概率为P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.有限相等■名师点拨(1)古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①基本事件个数有限，但非等可能．②基本事件个数无限，但等可能．③基本事件个数无限，也不等可能．(2)古典概型的概率与统计概率的区别与联系古典概型的概率统计概率每个基本事件发生的可能性相同不一定相同基本事件总的结果数有限往往与试验次数有关概率确切性估计法联系都能反映某个事件发生的可能性的大小(3)古典概型概率公式的推导在古典概型中，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，记为A1A2…An，由于它们两两互斥，所以P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)＝1，又因每个基本事件发生是等可能的，即P(A1)＝P(A2)＝…＝P(An)，所以nP(Ai)＝1，所以P(Ai)＝1n(i＝1，2，…，n)．若在该试验中事件A包含的基本事件数为m，所以P(A)＝mn，即P(A)＝事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数.同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是()A．3B．4C．5D．6解析：选D.事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A.15B.310C.35D.12解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为310，故选B.(2019·河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是()A.23B.56C.2936D.34解析：选B.由题意，连续抛掷两次骰子共有6×6＝36种情况；绝对值大于3的有(1，5)，(1，6)，(2，6)，(5，1)，(6，1)，(6，2)共6种，所以绝对值不大于3有：36－6＝30种，故所求概率P＝3036＝56.故选B.下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．答案：③一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本事件？(2)“2个都是白球”包含几个基本事件？基本事件的列举【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个基本事件，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个基本事件．基本事件的三种列举方法(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．列表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求基本事件的个数．解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：共24个基本事件．(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．古典概型的概率计算【解析】(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝410＝25.(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为310.【答案】(1)C(2)310求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型．(2)算出基本事件的总数n.(3)算出事件A中包含的基本事件个数m.(4)算出事件A的概率，即P(A)＝mn.在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有{O，A}，{O，B}，{O，C}，{O，D}，{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，共10种．选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，共6种．故所求概率为610＝35.(2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？数学建模——古典概型的实际应用(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解】(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．(ii)由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝521.如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①基本事件的有限性；②每个基本事件的等可能性．(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．(2019·山西省大同市铁路一中期末考试)一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：(1)2只球都是红球的概率；(2)2只球同色的概率；(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2从中随机取2只球的所有结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15种结果．(1)2只球都是红球为(b1，b2)共1种，故2只球都是红球的概率P＝115.(2)2只球同色的有：(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3种，故2只球同色的概率P＝315＝15.(3)恰有一只是白球的有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8种，其概率P＝815；2只球都是白球的有：(a1，a2)，1种，故概率P＝115，所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．1．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的基本事件有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)