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3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2(整数值)随机数(randomnumbers)的产生[目标导航]课标要求1.了解基本事件的特点;了解随机数的意义.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决概率计算问题.4.会用模拟方法估计概率,理解用模拟方法估计概率的实质.素养达成通过对本节学习,使学生掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.新知导学·素养养成1.基本事件(1)定义在一次试验中可能出现的每一个基本结果叫做基本事件,它们是试验中不能再分的简单随机事件,一次试验只能出现一个基本事件.(2)特点①任何两个基本事件是的;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的.2.古典概型(1)定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.互斥和①试验中所有可能出现的基本事件只有个;有限②每个基本事件出现的可能性.(2)古典概型的概率公式对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=.思考:从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗?答案:不是,因为有无数个基本事件,所以不是古典概型.3.随机数(1)随机数要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数,把n个相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个袋中,把它们,然后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数.相等A包含的基本事件的基本事件的个数总数大小形状充分搅拌(2)整数值的随机数的应用利用计算器或计算机产生的来做模拟试验,通过模拟试验得到的来估计概率,这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为方法或方法.随机数频率随机模拟蒙特卡罗课堂探究·素养提升题型一基本事件和古典概型的判断[例1](1)抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是()(A)向上的点数是奇数(B)向上的点数是3(C)向上的点数是4(D)向上的点数是6解析:(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件,则A项不是基本事件,B,C,D项均是基本事件.故选A.(2)下列是古典概型的是()(A)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件(B)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件(C)从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率(D)抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止解析:(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不符合题意;B项中的基本事件是无限的,故B不符合题意;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C符合题意;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故D不符合题意.故选C.方法技巧(1)基本事件具有以下特点:①不可能再分为更小的随机事件;②两个基本事件不可能同时发生.(2)判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,两者缺一不可.题型二基本事件的计数问题[例2]先后抛掷3枚均匀的壹分、贰分、伍分硬币.(1)求试验的基本事件数;解:(1)因为抛掷壹分、贰分、伍分硬币时,各自都会出现正面和反面2种情况,所以一共可能出现的结果有8种.可列表为硬币种类试验结果(共8种)壹分正面正面正面正面反面反面反面反面贰分正面反面正面反面正面反面正面反面伍分正面反面反面正面正面反面反面正面所以试验基本事件数为8.解:(2)从(1)中表格知,出现“2枚正面,1枚反面”的结果有3种,即(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).所以“2枚正面,1枚反面”的基本事件数为3.(2)求出现“2枚正面,1枚反面”的基本事件数.方法技巧基本事件的两个探求方法(1)列表法:将基本事件用表格的形式表示出来,通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数,列表法适合于较简单的试验的题目,基本事件较多的试验不适合用列表法.(2)树状图法:树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.树状图法适合于较复杂的试验的题目.即时训练2-1:有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出:(1)试验的基本事件;(2)事件“朝下点数之和大于3”;解:(1)这个试验的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).解:(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(3)事件“朝下点数相等”;(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.题型三简单的古典概型的概率计算[例3]某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解:(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)=615=25.方法技巧(1)古典概型求法步骤①确定等可能基本事件总数n;②确定所求事件包含基本事件数m;③P(A)=.(2)使用古典概型概率公式应注意①首先确定是否为古典概型;②所求事件是什么,包含的基本事件有哪些.mn即时训练3-1:袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;解:(1)表示所有的结果为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,则事件A包含的基本事件为ac,ad,ae,bc,bd,be,共6个基本事件,所以P(A)=610=0.6,即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.解:(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B,则事件B包含的基本事件为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7个基本事件,所以P(B)=710=0.7,即至少摸出1个黑球的概率为0.7.(3)求至少摸出1个黑球的概率.解:每个基本事件为(x,y,z),其中x,y,z分别取红、白球,故基本事件个数n=8个.全集I={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.因为A中含有基本事件个数为m=6,所以P(A)=mn=68=0.75.[备用例题]袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.(2)记事件B为“三次颜色全相同”.因为B中含基本事件个数为m=2,所以P(B)=mn=28=0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.因为C中含有基本事件个数为m=4,所以P(C)=mn=48=0.5.解析:表示三次击中目标分别为3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率近似值为520=14.题型四用随机模拟估计概率[例4]用数1,2,3,4,5,6表示击中目标,通过模拟试验,产生了20组随机数:68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为.答案:14方法技巧用整数随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑:(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本事件;(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数;(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.即时训练4-1:种植某种树苗成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率.设计一个试验,随机模拟估计上述概率.解:利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0代表不成活,1至9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.9,因为是种植5棵,所以每5个随机数作为一组可产生30组随机数:698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0,则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为930=310.课堂达标1.下列不是古典概型的是()(A)从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小(B)同时掷两颗骰子,点数和为7的概率(C)近三天中有一天降雨的概率(D)10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率C2.抛掷一枚骰子,观察向上的点数,则该试验中,基本事件的个数是()(A)1(B)2(C)4(D)6解析:抛掷一枚骰子,观察向上的点数,其结果为1,2,3,4,5,6.它们都为基本事件,故选D.D3.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为()(A){正好2个红球}(B){正好2个黑球}(C){正好2个白球}(D){至少1个红球}解析:至少1个红球包含,一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至少1个红球}不是基本事件,其他项中的事件都是基本事件.故选D.D解析:可重复地选取两个数共有4×4=16(种)可能,其中一个数是另一个数的2倍的有1,2;2,1;2,4;4,2共4种,故所求的概率为416=14.4.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是.答案:14