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3．1.2概率的意义第三章概率考点学习目标核心素养概率通过实例，进一步理解概率的意义数学抽象概率的意义解释实例会用概率的意义解释生活中的实例直观想象、数学建模极大似然法了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律逻辑推理、数学运算第三章概率问题导学(1)概率的定义是什么？(2)什么叫小概率事件？(3)什么叫极大似然法？1．概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是_______的，但随机性中含有______________，认识了这种随机性中的______________，就能比较准确地预测随机事件发生的______________．随机规律性规律性可能性2．概率思想在实际问题中的应用(1)游戏的公平性①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为_______，所以这个规则是_______的；②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是_______的这一重要原则．0.5公平公平(2)决策中的概率思想如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“__________________________________________”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．(3)天气预报的概率解释天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．使得样本出现的可能性最大(4)试验与发现概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．(5)遗传机理中的统计规律孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并且用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)某事件发生的频率为fn(A)＝1.1.()(2)小概率事件就是不可能事件，大概率事件就是必然事件．()(3)某事件发生的概率随试验次数的变化而变化．()(4)连掷3次硬币，可能3次正面均朝上．()解析：频率fn(A)∈[0，1]，且事件发生的概率具有确定性，不随试验次数的变化而变化，故只有(4)正确，(1)(2)(3)均错．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是()A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨C．明天本地降雨的机会是80%D．以上说法均不正确解析：选C.选项A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.从一批计算机中随机地抽取100台进行质检，其中有10台次品，下列说法正确的是()A．次品率小于10%B．次品率大于10%C．次品率接近10%D．次品率等于10%解析：选C.依据题意出现次品的频率为10100，而概率是频率的稳定值，故次品率接近10%，故选C.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9次是白球，估计袋中数量多的是________．答案：白球某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？概率的含义【解】如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.对概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.有以下说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为310；④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．其中错误说法的序号是________．解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为310，概率仍为12，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2或3件……次品，故④正确．答案：①②③某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？游戏的公平性【解】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：45671567826789378910由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．和在本例中，若把游戏规则改为：自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？解：不公平．因为出现奇数的概率为412＝13，而出现偶数的概率为812＝23.游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图所示)，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？解：根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．概率在实际生活中的应用【解】设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝2000n.①第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈40500.②由①②两式，得2000n≈40500，解得n≈25000.所以，估计水库中有鱼25000尾．处理概率应用问题的技巧(1)求概率：先利用频率等方法求出事件的概率．如本题中先求出带记号的鱼的概率．(2)估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值．如本题中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，若随机地抽取一箱，再从此箱中任意抽取一球，结果取得白球，则这个球最有可能是从________箱中抽出的(填“甲”或“乙”)．解析：甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次随机抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的，所以我们作出统计推断，该白球是从甲箱中抽出的．答案：甲1．今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列说法不正确的是()A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能不降雨C．北京和上海都可能不降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：选A.北京降雨的概率大于上海降雨的概率，说明北京降雨的可能性比上海大，两个城市可能都降雨，也可能都不降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨．2．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是14，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法()A．正确B．错误C．无法解释D．以上均不正确解析：选B.解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是14.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．3．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道()A．取定一个标准班，A发生的可能性是97%B．取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97C．任意取定10000个标准班，其中大约9700个班A发生D．随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，且在它附近摆动解析：选D.对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对；请注意：本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”．4．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38，所以不公平．答案：不公平