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第三章概率§2古典概型2．3互斥事件自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解互斥事件、对立事件的定义．2．会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率.1．互斥事件(1)定义：在一个随机试验中，我们把一次试验下______________的两个事件A与B称作互斥事件．(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和B____________发生．(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝____________________．(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝_________________________．不能同时发生至少有一个P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)练一练：(1)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是()A．A与B互斥B．任何两个均互斥C．B与C互斥D．任何两个均不互斥解析：A为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件，由此知，A与B是互斥事件，A与C是对立事件，也是互斥事件，B与C是包含关系，故选项A正确．答案：A2．对立事件(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为A.(2)性质：P(A)＋P(A)＝___，即P(A)＝1－________．1P(A)练一练：(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．解析：一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点，事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点，得到的点数为3点，事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B与C是对立事件，故填④.答案：④1．如何从集合的角度理解互斥事件？从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即A∩B＝∅，任何两个基本事件都是互斥的．2．如何从集合的角度理解对立事件？从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，对立事件是针对两个事件而言的．3．互斥事件与对立事件有何关系？两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；若两个事件是互斥事件，则未必是对立事件．对立事件是特殊的互斥事件．典例精析规律总结课堂互动探究判断下列各对事件是否是互斥事件，是否是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加演讲比赛．(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．【解】(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名学生中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，并且其并事件是必然事件，所以是对立事件．【规律总结】判断两个事件是互斥事件还是对立事件，只需要找出各个事件所包含的基本事件，看他们之间是否有公共部分，若各自包含的基本事件无公共部分，则两个事件互斥，再判断是否必有一个发生，即判断是否为对立事件．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少一个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球解析：从袋中任取两个球，可能为2个红球或2个白球或1红球1白球．∴恰有1个白球与恰有2个白球是互斥但不对立事件．答案：C袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也为512，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？【解】从袋中任取一球，记事件“取得红球”“取得黑球”“取得黄球”“取得绿球”分别为事件A，B，C，D，它们彼此互斥，由题意得，P(A)＝13，P(B)＋P(C)＝512，P(C)＋P(D)＝512.∴P(A)＋P(B)＋2P(C)＋P(D)＝13＋512＋512＝76，又P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，∴P(C)＝16，P(B)＝14，P(D)＝14.∴得到黑球，黄球，绿球的概率分别是14，16，14.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘A或B去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.4＋0.1)＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．玻璃球盒中装有各色球共12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球，求从中取1球：(1)取得红球或黑球的概率；(2)取得红球或黑球或白球的概率．【解】解法一：利用互斥事件求概率．记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.解法二：利用对立事件求概率的方法．(1)由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4.P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.【规律总结】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法．(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种，因而所求概率为436＝19.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品，因而所求概率为P＝4×236＋2×436＝49.(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为P＝1－19＝89.若甲、乙两名射手在同样条件下击中目标的概率分别是0.6,0.7，则甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是多少？【错解】由题意知，0.6＋0.7＝1.3，即甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是1.3.【错因分析】甲击中目标与乙击中目标这两个事件不是互斥事件，不能直接相加得结果．【正解】甲、乙未击中目标的概率分别是0.4,0.3.甲、乙都未击中目标的概率为0.4×0.3＝0.12.“甲、乙都未击中目标”与“甲、乙两人中至少有一人击中目标”为对立事件．∴甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是1－0.12＝0.88.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一互斥事件与对立事件1．同时掷3枚质地均匀的硬币，那么互为对立事件的是()A．至少有1枚正面朝上和至多有1枚正面朝上B．至多有1枚正面朝上和恰有2枚正面朝上C．至多有1枚正面朝上和至少有2枚正面朝上D．至少有2枚正面朝上和恰有1枚正面朝上解析：同时掷3枚硬币，至多有1枚正面朝上与至少有2枚正面朝上是对立事件，故选C．答案：C2．从1,2，…，9中任取两个数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③解析：①同一事件，即都是一奇一偶；②至少有一个偶数包含两个都是偶数，不对立；③是对立事件；④都包含一奇一偶的情况，不对立．答案：C知识点二互斥事件的概率3．甲、乙两人下棋，两人下成合棋的概率是12，甲胜的概率是13，则甲不输的概率是()A．56B．25C．16D．13解析：甲不输，则甲胜或平，又甲胜的概率是13，合棋的概率是12，所以甲不输的概率是P＝13＋12＝56.答案：A知识点三对立事件的概率4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A．0.7B．0.65C．0.35D．0.5解析：“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求的概率为1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案：C5．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：(1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120.(2)P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11000＋1100＋120＝611000.(3)中特等奖或一等奖的概率为11000＋1100＝111000，∴1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1－111000＝9891000.