搜索
第三章概率§1随机事件的概率1．1频率与概率1．2生活中的概率自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．2．了解频率和概率的意义，并能加以区别．3．结合实际，用频率对某些随机事件的概率进行估计.1．概率在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在__________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．我们有___≤P(A)≤___.某个常数稳定性01练一练：(1)下列说法正确的是()A．某事件发生的概率是P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案：B2．频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的__________，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的__________大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的______作为它的概率的估计值．频繁程度可能性的频率练一练：(2)某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币24000次，则正面向上的次数最有可能的是()A．12012B．11012C．13012D．14000解析：因为抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为0.5，此人连续抛掷一枚质地均匀的硬币24000次，则正面向上的次数应接近0.5×24000＝12000(次)，所给的答案中只有12012这个数最接近12000，所以选A．答案：A1．随机事件的概率与频率有何关系？随机事件A的概率是通过在相同条件下，大量重复进行同一试验，得到随机事件A发生的频率的稳定值而得到的，一定要注意“在相同的条件下”这一条件，如果条件发生了改变，事件发生的概率也会随之改变，频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．2．概率的大小与随机事件发生与否有何关系？概率是对随机事件发生的可能性大小的度量，它反映了随机事件发生的可能性的大小．但随机事件的概率大，并不表明它在每一次试验中一定能发生．概率的大小只能说明随机事件在一次实验中发生的可能性的大小，即随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就使我们能比较准确地预测随机事件发生的可能性．典例精析规律总结课堂互动探究某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的概率．【解】(1)利用频率的定义，可得[500,900)的频率是481000＝0.048；[900,1100)的频率是1211000＝0.121；[1100,1300)的频率是2081000＝0.208；[1300,1500)的频率是2231000＝0.223；[1500,1700)的频率是1931000＝0.193；[1700,1900)的频率是1651000＝0.165；[1900，＋∞)的频率是421000＝0.042.所以频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是6001000＝0.6.所以估计灯管使用寿命不足1500小时的概率是0.6.【规律总结】频率是频数与试验总次数的比值，在每次试验中都可能会出现不同的结果，但它具有一定的稳定性，频率的这种稳定性是随机事件本身所固有的，是不随人们的意志改变的试验的客观属性，故可以对它进行度量．概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化，它是随机事件发生可能性大小的度量，在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．(2019·北京卷，节选)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人求：从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．解：由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为40100＝0.4.某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？【解】因为击中靶心的概率为0.9，这个值是经过大量的重复试验得出的一个统计值，但作为单独的一次或多次试验而言，很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大，因而随机事件的发生与否需要看试验的次数，不能将概率值当作是必然发生的值来理解．故击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为910n，其中n为射击次数，而且当n越大，击中的次数就越接近910n.【规律总结】概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．单独一次结果的不肯定性与大量重复试验积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”．某一事件的概率大小，不能决定其一定发生或不发生．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，即治疗病人的人数的增多，大约有10%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能没有治愈，被治愈的可能性仍是10%.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．【解】设保护区中天鹅的数量约为n，从保护区中任捕一只，其被捕到的概率为200n，第二次从保护区中捕出150只，其中带有记号的20只，每只带记号的天鹅被捕到的概率为20150.则200n＝20150，解得n＝1500.所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只．【规律总结】概率是随机事件发生的可能性的规律体现，在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，在分析解决实际问题时，可以运用这一思想方法来进行科学决策．(2019·全国卷Ⅰ，节选)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．解：由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.给出下列四种说法：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2018年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1【错解】选A或C或D【错因分析】对随机事件、必然事件、不可能事件的理解不准确．【正解】①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件，此说法是正确的；②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件，此说法是正确的，因为没有哪个实数的平方小于0；③“2018年的国庆节是晴天”是随机事件，故此说法不正确；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．此说法正确，综上，①②④是正确的．【答案】B即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一对必然事件，随机事件，不可能事件的理解1．给出下列四个命题：①集合{x||x|0}为空集是必然事件；②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；③若loga(x－1)0，则x1是必然事件；④方程x2＋x＋1＝0有两个不等实根为不可能事件．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：∵|x|≥0，∴集合{x||x|0}是空集是必然事件，故①正确；∵y＝f(x)是奇函数，只有当x＝0有定义时，才有f(0)＝0，∴②正确；若loga(x－1)0，当a1时，x2，当0a1时，0x－11，即1x2，∴③正确；方程x2＋x＋1＝0中，Δ＝1－40，无实数根，∴④正确．答案：D2．在n＋2件同类产品中，有n件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件产品的必然事件是()A．3件都是次品B．3件都是正品C．至少有一件是次品D．至少有一件是正品解析：A是不可能事件；B、C都是随机事件；D是必然事件．答案：D知识点二生活中的概率3．下列说法正确的是()A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”C．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率解析：进行大量试验后，频率近似接近概率，因而可以用频率近似估计概率．答案：D4．在天气预报中，有“降水概率预报”，如预报“明天降水概率是85%”，这是指()A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%的地区不降水B．明天该地区有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的专家认为会降水，另外15%的专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为85%解析：降水概率是指降水发生的可能性的大小，故选D．答案：D知识点三频率与概率的关系5．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954(1)计算表中优等品的各个频率；(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少？解：(1)结合频率公式及题意可计算出优等品的频率依次为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由(1)知，计算出的优等品的频率虽然各不相同，但却都在常数0.95左右摆动，且随着抽取台数n的增加，摆动的幅度越来越小，因此，该厂生产的电视机优等品的概率是0.95.