2019-2020学年高中数学 第三章 导数应用章末优化总结课件 北师大版选修2-2

考点1利用导数研究函数的单调性问题1．利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0.已知a∈R，求函数f(x)＝2x2eax的单调区间．[解析]函数的导数f′(x)＝4xeax＋2ax2eax＝2(2x＋ax2)eax.(1)当a＝0时，若x0，则f′(x)0；若x0，则f′(x)0.所以当a＝0时，函数y＝f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．(2)当a0时，由2x＋ax20，解得x－2a或x0；由2x＋ax20，解得－2ax0.所以当a0时，函数y＝f(x)在区间(－∞，－2a)上为增函数，在区间(－2a，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．(3)当a0时，由ax2＋2x0，解得0x－2a；由2x＋ax20，解得x0或x－2a.所以当a0时，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，－2a)上为增函数，在区间(－2a，＋∞)上为减函数．考点2利用导数研究函数的极值和最值1．函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值，求参数的值．设a0且a≠1，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋alnx.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点．[解析](1)由已知得x0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋2x，f′(3)＝23，所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为23.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－a＋1x＋ax＝x－1x－ax.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①当0a1时，当x∈(0，a)时，f′(x)0，函数f(x)是增加的；当x∈(a,1)时，f′(x)0，函数f(x)是减少的；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)是增加的．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．②当a1时，当x∈(0,1)时，f′(x)0，函数f(x)是增加的；当x∈(1，a)时，f′(x)0，函数f(x)是减少的；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)是增加的．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．综上，当0a1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点；当a1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．考点3利用导数研究方程、不等式等综合问题用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图像来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a，若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．[解析]f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．∵当x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.∴当x＝1时，f(x)取极大值，且f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值，且f(2)＝2－a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a2或a52.