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[自主梳理]一、导函数符号与函数的单调性之间的关系1．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的．2．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．f′(x)0f′(x)0二、导函数绝对值大小对函数变化快慢的影响一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值变化较大，那么函数值在这个范围内变化的________，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就________一些．快“平缓”[双基自测]1．当x0时，f(x)＝2x＋x，则f(x)的递减区间是()A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(0，2)解析：f′(x)＝－2x2＋1，x0，由f′(x)0，x0，得0x2，∴x0时，f(x)的递减区间是(0，2)．答案：D2．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A.π2，3π2B．(π，2π)C.3π2，5π2D．(2π，3π)答案：B3．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像可能是()解析：由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，但始终大于等于0，则f(x)的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D符合．答案：D4．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的范围是______．解析：因为f′(x)＝－x＋bx＋2＜0，在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．而x(x＋2)在(－1，＋∞)上大于－1，所以b≤－1.(－∞，－1]探究一求函数的单调区间[例1]已知函数f(x)＝12x2＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．[解析]函数f(x)＝12x2＋alnx的导数为f′(x)＝x＋ax.(1)当a0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是有f′(x)＝x＋ax0，所以函数只有单调递增区间，其增区间是(0，＋∞)．(2)当a0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是由f′(x)＝x＋ax0，得x－a；由f′(x)＝x＋ax0，得0x－a.所以当a0时，函数的单调递增区间是(－a，＋∞)，单调递减区间是(0，－a)．当函数解析式中含有参数时，求其单调区间问题往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当地分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述．1．试确定下列函数的单调递减区间：(1)f(x)＝x＋ax(a0)；(2)f(x)＝13x3－12(a＋a2)x2＋a3x＋a2.解析：(1)函数的定义域为{x|x≠0}．f′(x)＝(x＋ax)′＝1－ax2＝1x2(x＋a)(x－a)．要求f(x)的递减区间，故不妨令f′(x)0，则1x2(x＋a)·(x－a)0，解得－axa，且x≠0，∴函数的递减区间为(－a，0)和(0，a)．(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，令y′0，得(x－a)(x－a2)0.①当a0时，不等式的解集为axa2，此时函数的递减区间为(a，a2)；②当0a1时，不等式解集为a2xa，此时函数的递减区间为(a2，a)；③当a1时，不等式解集为axa2，此时函数的递减区间为(a，a2)；④a＝0，a＝1时，y′≥0，此时，无减区间．综上所述：当a0或a1时，函数f(x)的递减区间为(a，a2)；当0a1时，函数f(x)的单调递减区间为(a2，a)；当a＝0，a＝1时，无减区间．探究二判断或证明函数的单调性[例2]证明函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是增加的．[解析]由于f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2，由于0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故f′(x)＝1－lnxx2＞0，即函数在区间(0,2)上是增加的．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．2．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性．解析：∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．探究三已知函数的单调性求参数的取值范围[例3]若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．[解析]f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥13.经检验，当m＝13时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥13.法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．设g(x)＝－3x2－2x＝－3x＋132＋13，易知函数g(x)在R上的最大值为13，所以m≥13.经检验，当m＝13时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥13.已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤：(1)求导数y＝f′(x)；(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；(3)由不等式恒成立求参数范围；(4)验证等号是否成立．3．若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减少的，在区间(6，＋∞)内是增加的，试求实数a的取值范围．解析：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内是增加的，不合题意；当a－11，即a2时，函数f(x)在(－∞，1)内是增加的，在(1，a－1)内是减少的，在(a－1，＋∞)内是增加的．依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范围为[5,7]．利用单调性证明方程有唯一解[例4]证明方程x－12sinx＝0有唯一解．[证明]设f(x)＝x－12sinx，显然x＝0是方程x－12sinx＝0的一个解．因为f′(x)＝1－12cosx，当x∈R时，f′(x)＞0总成立，所以函数f(x)在R上是递增的．所以曲线f(x)＝x－12sinx与x轴只有一个交点，所以方程x－12sinx＝0有唯一解．[感悟提高]证明此类问题有两个关键点：一是函数在定义域内有唯一解；二是函数在定义域内是递增的(或递减的)，二者缺一不可，推理证明要严密．