2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用章末归纳整合课件 新人教A版选修1-1

章末归纳整合根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．专题一应用导数解决与切线相关的问题【例1】设函数f(x)＝4x2－lnx＋2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：f′(x)＝8x－1x.所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7.又f(1)＝4＋2＝6，所以切点的坐标为(1,6)．所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即y＝7x－1.方法点评：根据导数的几何意义，可以通过求导数来求切线的斜率，再根据切点是曲线与切线的公共点，求出切点的坐标，代入直线方程的点斜式就可以求出切线的方程．变式训练1.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)，若曲线在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求实数a，b的值．【解析】根据题意，知f′(x)＝3x2－3a.又曲线在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，∴12－3a＝0，解得a＝4.又f(2)＝8，则8＝8－24＋b，∴b＝24.综上，a＝4，b＝24.导数研究函数的单调区间、函数的极值与最值、参数的取值范围等问题是最常出现的考点．导数的考查中常常与不等式、函数相关联，综合性较强．专题二导数与函数、不等式的综合应用【例2】设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(0a1)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；(3)当a＝23时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小极大∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．当x＝a时，f(x)取得极小值，f(x)极小＝f(a)＝b－43a3；当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大＝f(3a)＝b.(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.因为0a1，所以2aa＋1.所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.于是有2a－1≤a，4a－4≥－a，即45≤a≤1.又因为0a1，所以45≤a1.(3)当a＝23时，f(x)＝－13x3＋43x2－43x＋b，f′(x)＝－x2＋83x－43.由f′(x)＝0，即－x2＋83x－43＝0，解得x1＝23，x2＝2.所以f(x)在－∞，23上是减函数，在23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f(x)在[1,2)，(2,3]上各有一个实根．于是有f1≤0，f20，f3≤0，即－13＋b≤0，b0，－1＋b≤0.解得0b≤13.方法点评：本例综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等有关问题．解题中应注意数形结合、分类讨论、化归转化等思想方法的应用．变式训练2.设函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．【解析】(1)f(x)＝lnx＋a(1－x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1x－a＝1－axx.若a≤0，则f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a取得最大值，最大值为f1a＝－lna＋a－1.∵f1a＞2a－2，∴lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，∵g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0，∴当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.∴a的取值范围为(0,1)．【例3】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示．则平面区域a≥0，b≥0，f2a＋b＜1所围成的面积是多少？解：由导函数图象，可知函数f(x)在[－2,0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．当－2≤2a＋b≤0时，不等式f(2a＋b)＜1可化为f(2a＋b)＜f(－2)，进而得2a＋b＞－2，所以－2＜2a＋b≤0，此时平面区域a≥0，b≥0，f2a＋b＜1是一个点，面积为0.当2a＋b＞0时，不等式f(2a＋b)＜1可化为f(2a＋b)＜f(4)，进而得2a＋b＜4，所以0＜2a＋b＜4，此时，平面区域a≥0，b≥0，0＜2a＋b＜4如图阴影部分所示，其面积为12×2×4＝4.方法点评：本题是一个函数图象与平面区域的交汇问题，求解的关键是根据导函数图象得出函数的单调性，使不等式组具体化．变式训练3.设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)求证：fn(x)在0，23内有且仅有一个零点(记为an)且0＜an－12＜1323n.【解析】(1)因为fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2，所以f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，则f′n(2)＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2f′n(2)＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②由①－②得－f′n(2)＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)2n－1.所以f′n(2)＝1＋(n－1)2n.(2)证明：因为fn(0)＝－1＜0，fn23＝231－23n1－23－1＝21－23n－1≥21－232－1＝19＞0，所以fn(x)在0，23内至少存在一个零点．又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，所以fn(x)在0，23内单调递增．所以fn(x)在0，23内有且仅有一个零点an.又fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1＝x1－xn1－x－1，所以fn(an)＝an－an＋1n1－an－1＝0.则an＝12＋12an＋1n＞12，故12＜an＜23.所以0＜an－12＝12＋12an＋1n－12＝12an＋1n＜1223n＋1＝1323n.故命题得证．利用导数研究函数的性质是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．求函数的单调区间、函数的极值与最值、参数的取值范围等问题常出现．若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．1．(2018年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a＝1，则f(x)＝x3＋x.所以f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1.所以切线方程为y＝x.2．(2018年天津)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．【答案】e【解析】因为f(x)＝exlnx，所以f′(x)＝(exlnx)′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝ex·lnx＋ex·1x，f′(1)＝e1·ln1＋e1·11＝e.3．(2018年江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】－3【解析】令f(x)＝2x3－ax2＋1＝0⇒a＝2x＋1x2.令g(x)＝2x＋1x2，g′(x)＝2－2x30⇒x1⇒g(x)在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，所以a＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x3－3x2＋1.求导可知在[－1,1]上，f(x)min＝f(－1)＝－4，f(x)max＝f(0)＝1.所以f(x)min＋f(x)max＝－3.4．(2018年北京)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[2ax－(4a＋1)]ex＋[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex，f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0，所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a12，则当x∈1a，2时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤12，则当x∈(0,2)时，x－20，ax－1≤12x－10，所以f′(x)0.所以2不是f(x)的极小值点．综上，a的取值范围是12，＋∞.