2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 章末复习提升课（三）课件 新人教A版选修1-1

第三章导数及其应用章末复习提升课导数的几何意义已知曲线f(x)＝x3＋ax＋14在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________．【解析】由f(x)＝x3＋ax＋14得，f′(x)＝3x2＋a.f′(0)＝a，f(0)＝14.所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－14＝ax.设直线y－14＝ax与曲线g(x)＝－lnx相切于点(x0，－lnx0)，g′(x)＝－1x.所以－lnx0－14＝ax0，①a＝－1x0，②将②代入①得lnx0＝34，所以x0＝e34，所以a＝－1＝－e－.【答案】－e－e343434利用导数求曲线的切线方程的方法若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线y＝f(x)过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程，为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．函数f(x)＝x－x3－1的图象在点(1，－1)处的切线与直线4x＋ay＋3＝0垂直，则a＝()A．8B．－8C．2D．－2解析：选B．由f(x)＝x－x3－1，可得f′(x)＝1－3x2，所以f′(1)＝－2，即f(x)的图象在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以直线4x＋ay＋3＝0的斜率为12，即－4a＝12，解得a＝－8.利用导数研究函数的单调性已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．【解】函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a0，则由f′(x)＝0得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)0；当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．(1)讨论含参函数的单调性的关键点讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准．(2)由函数单调性求参数取值范围f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0不恒成立．f(x)为减函数⇔f′(x)≤0且f′(x)＝0不恒成立．已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0，1]．若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，求a的取值范围．解：由已知得f′(x)＝2a＋2x3.因为f(x)在(0，1]上单调递增，所以f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0，1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0，1]上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝－1.所以a≥－1.所以f(x)在(0，1]上为增函数时，a的取值范围是[－1，＋∞)．利用导数研究函数的极值与最值设a∈R，函数f(x)＝13x3－12(2a＋1)x2＋(a2＋a)x.(1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值，求a的值；(2)若a－1，试求x∈[0，1]时，函数f(x)的最大值．【解】(1)f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝(x－a)[x－(a＋1)]．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a，a＋1)a＋1(a＋1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以a＋1＝2，所以a＝1.(2)由(1)，知①当a≥1时，f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a2－16；②当a＝0时，f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝0；③当0a1时，f(x)在[0，a]上是增函数，在[a，1]上是减函数，所以f(x)max＝f(a)＝13a3＋12a2；④当－1a0时，f(x)在[0，a＋1]上是减函数，在[a＋1，1]上是增函数，因为f(1)－f(0)＝a2－16＝a＋66a－66，(ⅰ)当－1a－66时，f(1)f(0)，所以f(x)max＝f(1)＝a2－16，(ⅱ)当－66≤a0时，f(1)≤f(0)，所以f(x)max＝f(0)＝0.综上，f(x)max＝a2－16，－1a－66或a≥1，0，－66≤a≤0，13a3＋12a2，0a1..关于函数的极值、最值与导数的关注点(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义．(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2处有极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的单调区间和最大值．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝3＋2a＋b.曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)．又已知该切线方程为y＝3x＋1，所以3＋2a＋b＝3，c－a－2＝1，即2a＋b＝0，c－a＝3.因为y＝f(x)在x＝－2处有极值，所以f′(－2)＝0，所以－4a＋b＝－12.解方程组2a＋b＝0，c－a＝3，－4a＋b＝－12，得a＝2，b＝－4，c＝5，所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23.当x∈[－3，－2)时，f′(x)0；当x∈－2，23时，f′(x)0；当x∈23，1时，f′(x)0，所以f(x)的单调增区间是[－3，－2)和23，1，单调减区间是－2，23.因为f(1)＝4，f(x)极大值＝f(－2)＝13，所以f(x)在区间[－3，1]上的最大值为13.转化与化归思想的应用设f(x)＝x－1x－2lnx.(1)求证：当x≥1时，f(x)≥0恒成立；(2)讨论关于x的方程x－1x－f(x)＝x3－2ex2＋tx根的个数．【解】(1)证明：f(x)＝x－1x－2lnx的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x2－2x＝x2－2x＋1x2＝（x－1）2x2≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)≥f(1)＝1－1－2ln1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立．(2)化简方程得2lnx＝x3－2ex2＋tx.注意到x＞0，则方程可变为2lnxx＝x2－2ex＋t.令L(x)＝2lnxx，H(x)＝x2－2ex＋t，则L′(x)＝2（1－lnx）x2.当x∈(0，e)时，L′(x)＞0，所以L(x)在(0，e)上为增函数；当x∈(e，＋∞)时，L′(x)＜0，所以L(x)在(e，＋∞)上为减函数．所以当x＝e时，L(x)max＝L(e)＝2e.函数L(x)，H(x)＝(x－e)2＋t－e2在同一坐标系内的大致图象如图所示．由图象可知，①当t－e2＞2e，即t＞e2＋2e时，方程无解；②当t－e2＝2e，即t＝e2＋2e时，方程有一个根；③当t－e2＜2e，即t＜e2＋2e时，方程有两个根．(1)要证不等式f(x)g(x)，则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证φ(x)0，由此转化成求φ(x)的最小值问题，体现了转化与化归思想，从而借助于导数解决．(2)函数的零点问题常见的处理思路有两种，一种思路是将一个函数的零点问题转化成两个(较简单的)函数的交点问题，再结合图象进行判断，需要注意的是函数本身可以进行适当的代数变形以使得转化成的两个函数的草图更容易作出；另一种思路是将这个函数作为整体进行考虑，借助这个函数的性质直接得到结果，有时函数的性质需要借助导数去研究．已知函数f(x)＝x2ex－13x3－x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝23x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．解：(1)f′(x)＝x(x＋2)(ex－1)，由f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0.当－2x0或x0时，f′(x)0；当x－2时，f′(x)0，又因为函数f(x)在x＝0附近连续，所以函数f(x)在(－2，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)上是单调递减的．(2)f(x)－g(x)＝x2ex－x3＝x2(ex－x)．因为对任意实数x总有x2≥0，所以设h(x)＝ex－x.h′(x)＝ex－1，由h′(x)＝0得x＝0，则当x0时h′(x)0，即函数h(x)在(－∞，0)上单调递减，当x0时h′(x)0，即函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以对任意实数x都有h(x)≥h(0)＝1，即f(x)－g(x)≥0，故对任意实数x，恒有f(x)≥g(x)．1．函数y＝x－ex的增区间为()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)解析：选C．因为f′(x)＝1－ex，所以f′(x)0的解为x0，故函数的增区间为(－∞，0)．2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D．[－3，3]解析：选D．f′(x)＝－3x2＋2ax－1.因为f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0恒成立，即Δ＝(2a)2－4×3≤0，解得－3≤a≤3.3．函数f(x)＝x3－3x＋2在闭区间[－4，0]上的最大值与最小值的和为________．解析：因为f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，所以x1＝－1，x2＝1(舍去)；又f(－4)＝－64＋12＋2＝－50；f(－1)＝－1＋3＋2＝4.f(0)＝2，所以f(x)max＝f(－1)＝4，f(x)min＝f(－4)＝－50，所以f(x)max＋f(x)min＝4－50＝－46.答案：－464．(2019·冀州高二检测)已知函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)＋a，g(x)＝(a2－a＋10)ex(a∈R且a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线过点(1，2)，求实数a的值；(2)若存在实数x1，x2∈[0，π]，使得g(x2)f(x1)＋13－eπ2成立，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)＝ex(sinx＋cosx)＋a，得f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝2excosx，由曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线过点(1，2)，得f′(0)＝f（0）－20－1，即2＝1－a，解得a＝－1.(2)存在实数x1，x2∈[0，π]，使得g(x2)f(x1)＋13－eπ2成立，即g(x)minf(x)max＋13－eπ2.由(1)知，f′(x)＝2excosx，可得f′(x)＝0在[0，π]上的解为x＝π2，函数f(x)在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减，所以f(x)max＝fπ2＝eπ2＋a.又a2－a＋100恒成立，所以g(x)＝(