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第三章导数及其应用3．4生活中的优化问题举例第三章导数及其应用考点学习目标核心素养几何中的最值问题会用导数解决与面积、体(容)积有关的最值问题数学建模、数学运算用料、费用最省问题能利用导数解决实际生活中的用料最省，费用最低问题数学建模、数学运算利润最大问题能利用导数解决实际问题中的利润最大问题数学建模、数学运算几何中的最值问题有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？【解】设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x，0xa2.即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0xa2.实际问题归结为求V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝16a，x2＝12a(舍去)．x1＝16a在区间0，a2内，x1可能是极值点．且当0xx1时，V′(x)0；当x1xa2时，V′(x)0.因此x1是极大值点，且在区间0，a2内，x1是唯一的极值点，所以x＝16a是V(x)的最大值点．即当截下的小正方形边长为16a时，容积最大．解决面积、容积的最值问题的方法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[注意](1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.所以h＝S－2πr22πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝r2(S－2πr2)＝rS－2πr32，V′(r)＝S－6πr22，令V′(r)＝0得S＝6πr2，所以h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．又r＝S6π，所以h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS3π.答案：6πS3π用料(费用)最省问题某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝8001＋15lnx来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【解】设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x＝1280x元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝8001＋15lnx来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋1280x＝800＋160lnx＋1280x(x0)，所以g′(x)＝160（x－8）x2(x0)，令g′(x)＝0，则x＝8，当0x8时，g′(x)0，当x8时，g′(x)0，所以当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k0)，则y1＝kv2.因为当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·200v－8＝1000v2v－8，所以y′＝2000v（v－8）－1000v2（v－8）2＝1000v2－16000v（v－8）2.令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.所以当v0≥16时，v∈(8，16)，y′0，即y为减函数；v∈(16，v0]，y′0，即y为增函数，故v＝16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；当v016时，v∈(8，v0]，y′0，即y在(8，v0]上为减函数，故当v＝v0时，ymin＝1000v20v0－8，此时全程燃料费最省．综上可得，若v0≥16，则当v＝16时，全程燃料费最省，为32000元；若v016，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为1000v20v0－8元．利润最大(成本最低)问题某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6＜x＜11)，年销售量为u万件，若已知5858－u与(x－214)2成正比，且每件售价为10元时，年销售量为28万件．(1)求年销售利润y关于每件售价x的函数关系式；(2)求每件售价为多少时，年销售利润最大，并求出最大利润．【解】(1)由题目条件，可设5858－u＝k(x－214)2，因为每件售价为10元时，年销售量为28万件，所以5858－28＝k(10－214)2，解得k＝2，所以u＝－2(x－214)2＋5858＝－2x2＋21x＋18，所以y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6＜x＜11)．(2)由(1)得，y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝9或x＝2(舍去)，所以当x∈(6，9)时，y′＞0，当x∈(9，11)时，y′＜0，所以函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6，9)上单调递增，在(9，11)上单调递减，所以当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，所以当每件售价为9元时，年销售利润最大，最大利润为135万元．(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值．已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技改投入比率为x60－x∈(0，5]．(1)求技改投入x的取值范围；(2)当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少万元？解：(1)由题意，x60－x∈(0，5]，x＞0，所以0＜x≤50，所以技改投入x的取值范围是(0，50]．(2)设f(x)＝(60－x)x2，x∈(0，50]，则f′(x)＝－3x(x－40)，0＜x＜40时，f′(x)＞0；40＜x≤50时，f′(x)＜0，所以x＝40时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值为32000万元．1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选C．y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0x9时，y′0；当x9时，y′0.所以当x＝9时，y取得最大值．2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位：L/h)关于行驶速度x(单位：km/h)的解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)汽车以40km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需10040＝2.5(h)，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．(2)当匀速行驶速度为xkm/h时，汽车从甲地行驶到乙地需100xh，设耗油量为hL，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8100x＝x21280－154＋800x(0x≤120)，则h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0，80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80，120]时，h′(x)0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0，120]上只有一个极小值，所以它也是最小值．所以当汽车以80km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25L.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放