2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人

第三章导数及其应用3．3.3函数的最大(小)值与导数第三章导数及其应用考点学习目标核心素养函数的最值了解函数的最大值、最小值的含义数学抽象、直观想象求函数的最值掌握利用导数求函数最值的方法数学运算问题导学预习教材P96～P98，并思考下列问题：1．什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2．函数的最值与极值有什么关系？3．求函数最值的方法和步骤是什么？1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得________和________，并且函数的最值必在极值或端点值取得．最大值最小值■名师点拨对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．2．函数最值的求法求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：(1)当函数f(x)单调时：若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)当函数f(x)不单调时：①求y＝f(x)在(a，b)内的______；②将y＝f(x)的各______与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．极值极值■名师点拨函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)＝1x在区间[－1，0)∪(0，1]上有最值．()×√×设在区间[a，b]上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上可导，有以下三个命题：①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．其中正确的命题共有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A．由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间(a，b)内取得，故当在区间(a，b)内取得时，最值必是相应的极值，如y＝x2，x∈[－1，2]，当x＝0时，取得最小值；当x＝2时，取得最大值．而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不正确．函数f(x)＝2x－cosx在R上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析：选A．f′(x)＝2＋sinx＞0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，故函数f(x)在R上无最值．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是()A．1B．2C．0D．－1解析：选A．设f(x)＝3x－4x3，则f′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)．当x＝12时，f′(x)＝0.因为f(0)＝0，f12＝1，f(2)＝－26，所以函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1.求已知函数的最值角度一函数解析式不含参数求下列各函数的最值．(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]．【解】(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37极大值3极小值－535所以当x＝4时，f(x)取得最大值35.当x＝－2时，f(x)取得最小值－37.(2)因为f(x)＝3ex－exx2，所以f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．因为在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，所以x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0，且x0∈[a，b]．(3)求最值，有两种方式：①判断各分区间上的单调性，然后求出最值；②将f(x0)的值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值．角度二函数解析式含参数设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．【解】(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a3，x1＜x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和－1＋4＋3a3，＋∞上单调递减，在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3上单调递增．(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．研究函数在区间上的最值问题，关键是比较极值点与区间端点处函数值的大小，而这个就是讨论的切入点．本题由于a＞0，所以将极小值点x1排除了，a≥4时将极大值点也排除在区间之外，函数的单调性则显而易见．故只需关注0＜a＜4时的最大值，进一步细化端点即可．已知函数f(x)＝1－xx＋lnx，求f(x)在12，2上的最大值和最小值．解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝1－xx＋lnx＝1x－1＋lnx，所以f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1212，11(1，2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2极小值0－12＋ln2所以在12，2上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，所以f12－f(2)＝32－2ln2＝12×(3－4ln2)＝12lne316＞0，所以f12＞f(2)，所以f(x)在12，2上的最大值为f12＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.由函数的最值求参数若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值是－29，求a，b的值．【解】f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，因为x∈[－1，2]，所以x＝0.由题意知a≠0，(1)若a＞0，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－1，0)0(0，2)f′(x)＋0－f(x)极大值所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3＞f(2)，所以当x＝2时，f(x)取最小值，所以－16a＋3＝－29.所以a＝2.(2)若a＜0，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－1，0)0(0，2)f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29＜f(2)，所以当x＝2时，f(x)取最大值，即－16a－29＝3.所以a＝－2.综上a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数最值求参数的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．已知23＜a＜1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a，b的值．解：令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，0)0(0，a)a(a，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋bb－a32＋b1－32a＋b由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－a32，而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1＞0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)＜0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，a＝63.所以a＝63，b＝1.与最值有关的恒成立问题已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．【解】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈R，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′－23＝43－43a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)；单调递减区间为－23，1.(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1，2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)＜c2(x∈[－1，2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(变设问)若本例中条件不变，把(2)中“x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2成立”，结果如何？解：由例题解析知当x＝1时，f(1)＝c－32为极小值，又f(－1)＝12＋c＞c－32，所以f(1)＝c－32为最小值．因为存在x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2成立，所以只需c2＞f(1)＝c－32，即2c2－2c＋3＞0，解得c∈R.恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max，只要h＞f(x)max，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f(x)＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m