2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选

第三章导数及其应用3．3.2函数的极值与导数第三章导数及其应用考点学习目标核心素养函数极值的概念了解极值、极值点的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件数学抽象求函数的极值会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)数学运算问题导学预习教材P93～P96，并思考下列问题：1．什么是函数的极值？2．函数的极值与极值点的联系是什么？3．如何利用导数来求函数的极值？1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)极大值与极大值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的__________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．极小值点、极大值点统称为________，极大值和极小值统称为______．f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值■名师点拨理解函数极值概念应该注意以下5点(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值.(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值.2．求函数f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么，f(x0)是极小值．■名师点拨一般来说，“f′(x0)＝0”是“可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可推导出函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)极大值一定比极小值大．()(3)函数f(x)＝1x无极值．()××√已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0解析：选C．由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.(2017·高考浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：选D．原函数先减再增，再减再增，且x＝0位于增区间内，故选D．利用导数求函数的极值角度一解析式中不含参数的函数极值的求解求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.【解】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，x＝－1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增1e单调递减因此，x＝e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)＝1e，函数f(x)没有极小值点．求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．[注意]当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．角度二解析式中含有参数的函数极值的求解已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．【解】因为f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中x∈R，a≠0，所以f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝a2，x2＝a3.①当a＞0时，a3＜a2，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，a3a3a3，a2a2a2，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x＝a3时，函数f(x)取得极大值fa3＝a327；当x＝a2时，函数f(x)取得极小值fa2＝0.②当a＜0时，a2＜a3，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，a2a2a2，a3a3a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x＝a2时，函数f(x)取得极大值fa2＝0；当x＝a3时，函数f(x)取得极小值fa3＝a327.综上，当a＞0时，函数f(x)在x＝a3处取得极大值a327，在x＝a2处取得极小值0；当a＜0时，函数f(x)在x＝a2处取得极大值0，在x＝a3处取得极小值a327.求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．1．求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值．解：函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减3单调递增因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．2．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．求函数f(x)的极值．解：由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x＞0知，①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．已知函数的极值求参数已知函数f(x)＝13x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上的极小值．【解】(1)f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由表可知，当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝－83＋8＋m＝283，解得m＝4.故实数m的值为4.(2)由m＝4可得f(x)＝13x3－4x＋4，结合上表，可得f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝83－8＋4＝－43.故函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上的极小值为－43.已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′(x)；②由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立，此时需注意不等式中的等号是否成立．[注意]求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处取得极小值－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．解：f′(x)＝3x2－6ax＋2b，x∈R，由题意可知f′(1)＝3－6a＋2b＝0，①f(1)＝1－3a＋2b＝－1，②由①②解得a＝13，b＝－12，故函数的解析式为f(x)＝x3－x2－x，由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0，得x＜－13或x＞1，所以函数f(x)的单调递增区间为－∞，－13与(1，＋∞)．令f′(x)＜0，得－13＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为－13，1.函数极值的综合应用设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝x3－92x2＋6x－a，x∈R，所以f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，令f′(x)＞0，可得x＜1或x＞2；令f′(x)＜0，可得1＜x＜2，故f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2)．(2)由(1)知当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；因为方程f(x)＝0仅有三个实根．所以f（1）＞0，f（2）＜0，解得2＜a＜52.即a的取值范围为2，52.(变问法)本例中，a为何值时，方程f(x)＝0恰有两个实根？解：方程f(x)＝0恰有两个实根，则有极大值f(1)＝52－a＝0或极小值f(2)＝2－a＝0，所以a＝52或a＝2.研究函数图象与x轴交点个数的方法函数的图象与x轴的交点个数，主要是看极大值和极小的符号．求出导函数后找到极值点和其对应的极值，再结合图象判断零点个数．当a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根？两个不等实根？三个不等实根？有没有可能无实根？解：令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R，由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0.函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4，如图所示，故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个实根；当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根；当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．函数f(x)＝32x2－lnx的极值点为()A．0，1，－1B．33C．－33D．33，－33解析：选B．由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33x＝－33舍去.当x＞33时，f′(x)＞0；当0＜x＜33时，f′(x)＜0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值