2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算

3.2.3基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)目标定位重点难点能利用导数的四则运算法则求导数重点：函数的和、差、积、商的导数难点：求乘积和分式形式函数的导数导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________；(2)[cf(x)]′＝______________；(3)[f(x)·g(x)]′＝__________________________；(4)f(x)g(x)′＝______________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)cf′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]21．若对任意的x有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋2【答案】B【答案】C2．函数y＝cosxx的导数是()A．－sinxx2B．－sinxC．－xsinx＋cosxx2D．－xcosx＋cosxx24．若f(x)＝(2x＋a)2，f′(2)＝20，则实数a＝________.【答案】13．(2019年安徽合肥期末)已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝0B．y＝2xC．y＝xD．y＝－2x【答案】B求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝－sinx21－2cos2x4.【解题探究】(1)利用和、差的运算法则求导；(2)利用积的运算法则或先化简再利用和、差的运算法则求导；(3)利用商的运算法则求导；(4)先化简，再求导．【解析】(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)(方法一)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.(方法二)∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)y′＝x－1x＋1′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.(4)∵y＝－sinx21－2cos2x4＝－sinx2－cosx2＝12sinx，∴y′＝12sinx′＝12cosx.8在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数表面形式上为函数的商或积，可在求导前将函数化简，然后再求导．1．求下列函数的导数．(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝sin4x4＋cos4x4；(3)y＝xnex；(4)y＝cosxsinx.【解析】(1)y＝x3＋1＋x－2，∴y′＝3x2－2x3.(2)y＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.(3)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(4)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.【例2】已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．【解题探究】(1)先求出直线l1的方程，再设出曲线与l2相切的切点坐标，表示出直线l2的方程，再由条件求解l2即可；(2)求l1与l2的交点及l1，l2与x轴的交点，即可求解三角形的面积．导数的应用【解析】(1)由已知得y′＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3.所以直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以2b＋1＝－13，b＝－23.所以直线l2的方程为y＝－13x－229.(2)解方程组y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52.所以直线l1和l2的交点坐标为16，－52.l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，－223，0.所以所求三角形的面积为S＝12×253×－52＝12512.8(1)导数几何意义的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．2．(2019年湖北武汉模拟)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．3π4，πB．π4，π2C．π2，3π4D．0，π4【答案】A【解析】求导可得y′＝－4ex＋e－x＋2.∵ex＋e－x＋2≥2ex·e－x＋2＝4，∴y′∈[－1,0)，即tanα∈[－1,0)．∵0απ，∴3π4≤α＜π.求导法则运用错误【示例】求函数f(x)＝xx23xcost的导数．【错解】因为f(x)＝xx23xcost＝12x76cost，所以f′(x)＝12(x76cost)′＝12[(x76)′cost＋x76(cost)′]＝712x16cost－12x76sint.【错因分析】在此题中，y是关于x的函数，而cost是常数．【正解】因为f(x)＝xx23xcost＝12x76cost，所以f′(x)＝12(x76cost)′＝12cost(x76)′＝712x16cost.【警示】含参数的函数求导时，先明确变量与常数，再根据求导规则求导，避免求导时出现错误．1．牢记常用函数的导数公式和运算法则．2．求函数的导数时为简化运算经常先化简再求导．3．应用函数的和、差、积、商的求导法则求复杂函数的导数．难点是商求导法则的理解与应用，易与积的求导法则混淆．解题时可以先运用函数式的恒等变形，尽可能避免使用商的求导法则，减少运算量，学习中应适时进行归纳总结．1.函数f(x)＝x＋ex的导数是()A．exB．1＋1xC．1＋xex－1D．1＋ex【答案】B2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D3．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，若f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于()A．18B．－18C．8D．－8【答案】A4．(2019年山西吕梁期末)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．【答案】22－1【解析】y′＝－12x－12，则y′|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.