2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基

第三章导数及其应用3．2导数的计算3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第三章导数及其应用考点学习目标核心素养基本初等函数的导数公式能应用导数的定义求几个常用函数的导数，掌握基本初等函数的导数公式数学运算导数的运算法则掌握导数的运算法则，能进行导数的运算数学运算导数公式与运算法则的应用能利用导数公式及运算法则解决切线问题数学运算问题导学预习教材P81～P85，并思考下列问题：1．函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？3．导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2■名师点拨对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式函数导数f(x)＝cf′(x)＝__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝axf′(x)＝_______(a0)0αxα－1cosx－sinxaxlna函数导数f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logaxf′(x)＝_______(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝_____1xlna1xex■名师点拨上述求导公式可分为四类：第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1；第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数；第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，ex的导数是指数函数的导数(当a＝e时)的特例；第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝1xlna，也可记为(logax)′＝1x·logae，lnx的导数也是对数函数的导数(当a＝e时)的一个特例．3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝____________．(2)[cf(x)]′＝_______(c为常数)．(3)[f(x)·g(x)]′＝____________________．(4)f（x）g（x）′＝____________________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)cf′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2■名师点拨对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及f（x）g（x）′＝f′（x）g′（x）这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的导数公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinπ3′＝cosπ3.()(2)因为(lnx)′＝1x，则1x′＝lnx．()(3)运用导数的运算法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．()×××下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x12，则y′＝12x12答案：D若y＝2x3＋cosx，则y′等于()A．6x2－sinxB．2x3－sinxC．6x2＋sinxD．6x2－cosx答案：A函数y＝x·lnx的导数是()A．xB．1xC．lnx＋1D．lnx＋x答案：C设函数f(x)＝sinxx，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(π)＝________．答案：－1π利用导数公式求导数求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x【解】(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝1xln5.利用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为可以直接应用公式的基本函数的形式，如y＝1x3可以写成y＝x－3，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．求下列函数的导数：(1)y＝lgx；(2)y＝12x；(3)y＝xx；(4)y＝log13x.解：(1)y′＝(lgx)′＝lnxln10′＝1xln10.(2)y′＝12x′＝12xln12＝－12xln2.(3)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32x12＝32x.(4)y′＝(log13x)′＝1xln13＝－1xln3.利用导数的运算法则求导数求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝1＋sinx2cosx2；(3)y＝cosxlnx；(4)y＝x－1x＋1.【解】(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.(2)因为y＝1＋sinx2cosx2＝1＋12sinx，所以y′＝12cosx.(3)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋cosxx.(4)y′＝x－1x＋1′＝（x－1）′（x＋1）－（x－1）（x＋1）′（x＋1）2＝x＋1－（x－1）（x＋1）2＝2（x＋1）2.利用导数的公式及运算法则求导的思路求下列函数的导数：(1)y＝15x5＋23x3；(2)y＝lgx－ex；(3)y＝3x2＋xcosx；(4)y＝sinx－cosx2cosx.解：(1)y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝1xln10－ex.(3)y′＝(3x2＋xcosx)′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝3×2x＋x′cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(4)因为y＝sinx－cosx2cosx＝12sinxcosx－1，所以y′＝12sinxcosx′＝cos2x＋sin2x2cos2x＝12cos2x.导数计算的综合应用角度一求值(1)已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0(2)(2019·遵义高二检测)若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x－3，则()A．f(0)f(4)B．f(0)＝f(4)C．f(0)f(4)D．以上都不对【解析】(1)法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数，f′(1)＝2，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.(2)由已知得f′(x)＝2x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝4＋2f′(2)，即f′(2)＝－4，从而f(x)＝x2－8x－3.又f(0)＝－3，f(4)＝16－32－3＝－19，所以f(0)f(4)．【答案】(1)B(2)C角度二与切线相关的问题(1)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】(1)因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′π2＝sinπ2＋π2cosπ2＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×－a2＝－1，解得a＝2.(2)设P(x0，y0)，因为y＝xlnx，所以y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx.所以k＝1＋lnx0.又k＝2，所以1＋lnx0＝2，所以x0＝e.所以y0＝elne＝e.所以点P的坐标是(e，e)．【答案】(1)2(2)(e，e)1．(变问法)本例(2)中，试求曲线y＝xlnx上与直线y＝－x平行的切线方程．解：设P(x1，y1)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率为k＝lnx1＋1，又k＝－1，得x1＝1e2，y1＝－2e2，故所求的切线方程为y＋2e2＝－x－1e2，即e2x＋e2y＋1＝0.2．(变问法)本例(2)中条件不变，试求点P处的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离．解：设P(x2，y2)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率k＝lnx2＋1，又k＝2得x2＝e，代入曲线得y2＝e.故点P的坐标是(e，e)．点P处的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离即为点P到直线2x－y＋1＝0的距离，故所求的距离d＝|2e－e＋1|22＋12＝（e＋1）55.利用导数的几何意义解题时的注意点(1)过某一定点求曲线的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．(3)如果切线的斜率存在，则在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．(4)曲线与直线相切并不表示它们之间一定只有一个公共点．1.(2019·南昌高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值为______．解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx．所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x.令x＝2，则f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋12，即2f′(2)＝－92，所以f′(2)＝－94.答案：－942．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，求b，c的值．解：由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知f′（0）＝0，f（0）＝1，即02－a·0＋b＝0，13×03－a2×02＋b×0＋c＝1，故b＝0，c＝1.1．下列求导正确的是()A．(3x2－2)′＝3xB．(log2x)′＝1x·ln2C．(cosx)′＝sinxD．1lnx′＝x解析：选B．(3x2－2)′＝6x，(log2x)′＝1x·ln2，(cosx)′＝－sinx，1lnx′＝－1x·（lnx）2.故选B．2．设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝π4处的导数f′π4＝()A．2B．－2C．0D．22解析：选A．因为f′(x)＝cosx＋sinx，所以f′π4＝cosπ4＋sinπ4＝2.3．已知f(x)＝lnxx，则f′(x)＝()A．1x2B．1x－1C．1－lnxD．1－lnxx2解析：选D．f′(x)＝（lnx）′·x－lnx·x′x2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2，所以选D．4．求下列函数的导数．(1)y＝x3·ex；(2)y＝cosxx.解：(1)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(2)y′＝cosxx′＝（cosx）′·x－cosx·（x）′x2＝－x·sinx－cosxx